平面和平面垂直判定

平面与平面垂直的判定 课前自主预习 知识探究（一）：二面角的有关概念思考1:直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？半平面半平面射线射线 思考2:将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角，你能画一个二面角的直观图吗？ 思考3:在平面几何中，我们把角定义为“从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种定义方式，二面角的定义如何？从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 思考4:下列两个二面角在摆放上有什么不同？lαβαβl 思考5:一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，其中直线l叫做二面角的棱，两个半平面α、β都叫做二面角的面，二面角通常记作“二面角α-l-β”.那么两个相交平面共组成几个二面角？lαβ棱面 知识探究（二）：二面角的平面角思考1:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？ 思考2:我们设想用一个平面角来反映二面角的两个半平面的相对倾斜度，那么平面角的顶点应选在何处？角的两边在如何分布？lαβ 思考3:在二面角α-l-β的棱上取一点O，过点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB来刻画二面角的张开程度？lαβOAB 思考4:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？lαβOABlαβOAB 思考5:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下个定义吗？以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.lαβOAB 思考6:二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少度？当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值范围如何？ 思考7:如图，过二面角α-l-β一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？ABOlαβ 思考8:如图，平面γ垂直于二面角的棱l，分别与面α、β相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？lAOBγαβ 知识探究（三）：两个平面垂直的概念思考1:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？思考2:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？ 思考3:如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？ 思考4:在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？αβαβ αβ思考5:如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？ 知识探究（四）：两个平面垂直的判定思考1:根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题？思考2:如图，∠AOB为直二面角Α-l-β的平面角，那么直线AO与平面α的位置关系如何？αβABOl 思考3：在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？αβmla 思考4:根据上述分析，可以得到两个平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 思考5:结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号语言怎样表述？αβl 思考6:过一点P可以作多少个平面与平面α垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面α垂直？αPlαl 思路方法技巧 例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B大小的正切值.AA1BCDB1C1D1O 例2如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？ABCDEOF 例3如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABCO 例4如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF 例5在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD.ABCDE