高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 课件

2.3.2平面与平面垂直的判定 问题：直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂直？我们从理论上作些探讨. 知识探究（一）：两个平面垂直的概念思考1:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？思考2:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？3 思考3:如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？4 思考4:在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？αβαβ5 αβ思考5:如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？6 知识探究（二）：两个平面垂直的判定思考1:根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题？思考2:如图，∠AOB为直二面角Α-l-β的平面角，那么直线AO与平面α的位置关系如何？αβABOl7 思考3：在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？αβmla8 思考3、两个平面互相垂直观察:教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。两个平面互相垂直的画法及其表示:9 思考4:根据上述分析，可以得到两个平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 思考4、两个平面垂直的判定判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．αβlO注：这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”下面我们来证明这个定理11 求证：α⊥β．分析：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角． 求证：α⊥β．证明：设a∩β=CD，则B∈CD．∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．αβCDABE 特别注意：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明． 思考5:结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号语言怎样表述？αβl 思考6:过一点P可以作多少个平面与平面α垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面α垂直？αPlαl16 应用举例，强化所学例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBCABOCP证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，所以，BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC。探究：你还能发现哪些面互相垂直？17 例2如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF 例3在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD.ABCDE19 课堂诊断:1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）4.若m⊥α，mβ，则α⊥β.()××√√5.二面角指的是（ ）A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。B20 附:角与二面角之间的关系角图形构成表示法•O顶点边边AB二面角从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形.定义射线点射线半平面—棱—半平面AOB二面角-a--AB-a棱面面AB 运用反馈，深化巩固1.指导完成课本P.69的探究问题2.指导完成课本P.69的练习小结归纳，整体认识1.比较角与二面角之间的关系2.二面角的度量；3.两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？想一想:怎样求二面角?