高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定 课件

2.3.2平面与平面垂直的判定 自学导引(学生用书P48) 1.理解两个平面垂直的定义及判定定理,运用它解决有关的简单问题.2.了解二面角的概念,掌握二面角的表示方法. 课前热身(学生用书P48) 1.两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直.2.如果一个平面过另一个平面的一条______,那么这两个平面互相垂直.3.从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为________,这条直线叫做二面角的________.以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角,叫做二面角的________.4.二面角的大小,用它的平面角来度量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是________.直二面角垂线二面角棱平面角几度 名师讲解(学生用书P49) 两平面相交成直二面角时,两平面垂直.两平面相交的这一特殊位置关系,决定着平面与平面垂直的概念､性质和判断,涉及的空间知识极为丰富,是高考的热点内容之一.除定义外,判断两平面垂直的最常用的判定定理是“一平面过另一个平面的垂线”.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的,同时,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化. 异面直线所成的角､斜线与平面所成的角､二面角统称为空间角,其求解方法相同,步骤是:第一步,作出它们的平面角;第二步,证明所作的角满足定义;第三步,将作出的角放在三角形中,计算出平面角的大小,又简称为“一作､二证､三计算”.在计算时,会受到三角函数知识的影响,因此学习直线和平面所成的角､二面角时,仅仅了解这两个概念即可,不要在其如何求解上过多纠缠,其求解方法将在选修中重点学习. 典例剖析(学生用书P49) 题型一空间线与面的位置关系例1:(1)已知m､l是直线,α､β是平面,给出下列命题:①若l垂直于α内两条相交直线,则l⊥α;②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;③若mα,lβ,则l⊥m,则α⊥β;④若lβ,且l⊥α,则α⊥β;⑤若mα,lβ,且α∥β,则l∥m. 其中正确的命题的序号是__________.解析:本题考查线与线､线与面､面与面的位置关系.命题①是线面垂直的判定定理,所以正确;命题②,l∥α,但l不能平行于α内所有直线;命题③,l⊥m,不能保证l⊥α,即分别包含l与m的平面α､β可能平行也可能相交而不垂直;命题④,为面面垂直的判定定理,所以正确;命题⑤,α∥β,但分别在α､β内的直线l与m可能平行,也可能异面.①④ (2)如果直线l､m与平面α､β､γ满足l=β∩γ,l∥α,mα,m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ和l⊥mB.α⊥γ和m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β和α⊥γ 解析:在“命题”形式的选择题中,应会寻找恰当的数学模型来否定其中一些错误命题,如下图.正方体ABCD—A1B1C1D1中,取平面CDD1C1为β,对角面ABC1D1为γ,对角面A1B1CD为α,CB1为m,C1D1为l,于是由m∩β=C,可排除B､C两项;又由α∩β=CD,排除D项;易证A正确.答案:A 规律技巧:(1)题的关键是将符号语言转化为图形语言,要求考生根据符号提供的信息去画图,去进行推理和判断,试题形式上是填空题,实际上是多选题,是高考题型的一种新变化.(2)排除法解立体几何选择题是常用的方法,本题是通过构造正方体中的线和面来举反例,寻找面面平行条件的关键是牢记定义和定理. 变式训练1:设有直线m\,n和平面α\,β,则下列命题中,正确的是()A.若m∥n,mα,nβ,则α∥βB.若m⊥α,m⊥n,nβ,则α∥βC.若m∥n,n⊥β,mα,则α⊥βD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β解析:C中,由m∥n,n⊥β,得m⊥β.又mα,∴α⊥β.答案:C 题型二用定义证明两平面垂直例2:如图,在四面体ABCD中,,求证:平面ABD⊥平面BCD. 分析:△ABD与△BCD有公共边BD,且都是等腰三角形.因此取BD的中点E,连结AE､CE.则∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.证该角为直角即可. 证明:取BD的中点E,连结AE,CE.由AB=AD=CB=CD知AE⊥BD,CE⊥BD∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.在△ABD中,同理,在△BCD中, ∴AE2+CE2=a2=AC2∴AE⊥CE,即∠AEC=90°.∴平面ABD⊥平面BCD.规律技巧:在立体几何中,常把空间问题,转化为平面问题,用平面几何知识求解. 变式训练2:如图,已知:AB⊥β,AB∩β=B,ABα.求证:α⊥β. 证明:如下图,设α∩β=a,则B∈a. ∵AB⊥β,aβ∴AB⊥a,在平面β内作BE⊥a,则∠ABE为二面角α-a-β的平面角.∵AB⊥β,BEβ.∴AB⊥BE.∴∠ABE=90°即二面角α-a-β为直二面角∴α⊥β. 题型三面面垂直的判定例3:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E､F分别为AB､BB1的中点.求证:平面DEF⊥平面A1BD1. 分析:画出示意图,利用正方体的性质,证面面垂直,可先证线面垂直,再用判定定理得证. 证明:如下图所示. 由正方体的性质知,A1D1⊥平面A1B1BA.EF平面A1B1BA,∴A1D1⊥EF.A1B⊥AB1,EF∥AB1,∴A1B⊥EF.又A1D1∩A1B=A1,∴EF⊥平面A1BD1.而EF平面DEF,∴平面DEF⊥平面A1BD1. 变式训练3:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:(1)直线D1C与平面AC所成的角;(2)二面角D1—BC—D的大小.分析:∠D1CD是直线D1C与平面AC所成的角,也是二面角D1-BC-D的平面角. 解:(1)∵D1D⊥平面AC,∴D1C在平面AC上的射影是DC.∴∠D1CD是直线D1C与平面AC所成的角.在△D1CD中,D1D⊥CD,D1D=CD,∴∠D1CD=45°.∴直线D1C与平面AC所成的角是45°. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,∴BC⊥平面D1C.∴BC⊥D1C,BC⊥CD.∴∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.由(1)知∠D1CD=45°,∴二面角D1-BC-D的大小是45°. 易错探究 例4:在长方体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,试问:截面ACB1与对角面BD1垂直吗?错解:如图所示,设AC与BD的交点为O,连接B1O,则B1O是截面ACB1与对角面BD1的交线.因为B1O是底面的斜线,所以截面ACB1与底面倾斜,从而截面ACB1不可能与对角面BD1垂直. 错因分析:错解从B1O倾斜于底面,就断定截面ACB1不可能与对角面BD1垂直,这是没有根据的,犯这种错误主要是由于对空间中的线面关系的理解不够透彻.正解:在正方形ABCD中,连结AC､BD,则AC⊥BD.又BB1⊥平面ABCD.AC平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BD1.又AC在平面ACB1内,∴截面ACB1⊥对角面BD1. 技能演练(学生用书P50) 基础强化1.若平面α与平面β不垂直,那么α内能与β垂直的直线()A.有0条B.有一条C.有2条D.有无数条答案:A 2.过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为()A.1B.2C.无数D.1或无数解析:当a⊥α时,过a与平面α垂直的平面有无数个;当a不垂直α时,过a与平面α垂直的平面有一个.答案:D 3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则()A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交,但不垂直D.以上都有可能解析:垂直同一平面的两个平面,相交､平行都有可能.答案:D 4.如下图,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,则在平面PAB､平面PAD､平面PCD､平面PBC及平面ABCD中,互相垂直的有() A.3对B.4对C.5对D.6对解析:互相垂直的平面有:平面PAB⊥平面PAD.平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PBC,平面PAD⊥平面PCD.共5对.答案:C 5.若两条直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面()A.有且只有一个B.可能有一个,也可能不存在C.有无数多个D.一定不存在解析:当a⊥b时,存在一个.当a不垂直b时,不存在.答案:B 6.自二面角内任一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的关系是()A.相等B.互补C.互余D.无法确定解析:根据平面四边形内角和等于360°知,它们互补.答案:B 7.在四面体ABCD中,若有两组对棱互相垂直,则另一组对棱所成的角为________.90° 解析:借助于正方体做出判断.如图所示:在四面体ABCD中,有AB⊥CD,AC⊥BD.另一组对棱BC⊥AD.因此,另一组对棱所成的角为90°. 8.如图,已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等,且BC=2,则以BC为棱,以面BCD与BCA为面的二面角为________.°90 解析:取BC的中点E,连结AE,DE,由题意知AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠AED为所求二面角的平面角.计算得AD=2.∴AE2+DE2=AD2,∴∠AED=90°. 能力提升 9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;(3)求证:∠PCD为二面角P-BC-D的平面角. 证明:(1)∵∴PC2=PD2+DC2,∴PD⊥DC.同理可证:PD⊥AD,又AD∩DC=D,∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,而四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD,又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PDB. 又AC平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC,BC⊥DC,∴BC⊥平面PDC,∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P-BC-D的平面角. 10.如图,已知△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且EC､DB在平面ABC的同侧,M为EA的中点,CE=CA=2BD.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA. 证明:(1)如下图,取AC中点N,连结MN,BN.∵△ABC为正三角形,∴BN⊥AC,∵EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC, ∴EC∥BD,EC⊥BN.又M为AE中点,EC=2BD,∴MNBD,∴四边形MNBD是平行四边形.∴BNDM.由BN⊥AC,BN⊥EC,得BN⊥平面AEC,∴DM⊥平面AEC,∴DM⊥AE,∴AD=DE. (2)∵DM⊥平面AEC,DM平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM⊥平面AEC,DM平面ADE,∴平面DEA⊥平面ECA. 品味高考(学生用书P51) 11.(2008·四川)直线l平面α,经过α外一点A与l,α都成30°角的直线有且只有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:由最小角定理可知,过点A所得直线与平面α内的直线l所成的角和该直线与α所成角大小相等,∴这样的直线有且只有2条.答案:B 12.(2009·江苏)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C. 证明:(1)如图,由E､F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC,因为EF平面ABC,BC平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1,又A1D平面A1B1C1,故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1､B1C平面BB1C1C,故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D平面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.