2.3.2平面与平面垂直的判定知识梳理1.一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中每一部分都叫作半平面.2.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.3.以二面角棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,平面角是直角的二面角叫作直二面角.4.一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这这两个平面垂直.两个平面垂直时,通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.5.两个平面互相垂直的判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面互相垂直.知识导学两个平面垂直需要用“二面角”的概念,学习二面角要注意以下三点:(1)二面角的大小是用平面角来度量的;(2)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的,与棱上点的选择无关;(3)平面角的两边分别在二面角的两个面内,且两边都与二面角的棱垂直,由这个角所确定的平面与棱垂直.志，气之帅也。——孟子两个平面垂直的判定定理,可类比归纳面面平行的判定定理的过程,把它转化为直线与平面垂直的位置关系去研究.疑难突破1.两个平面互相垂直的判定方法有哪些？剖析:常用的判定方法有:(1)定义法,即说明这两个平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理,即一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个平面.对于判定定理,可简述为“线面垂直,则面面垂直”,也说明了线面垂直与面面垂直的密切关系,用符号表示为:若l⊥α,lβ,则α⊥β.利用判定定理证明两个平面垂直,关键是在其中的一个平面内寻找另一平面的垂线.用定义法证明面面垂直时,可先作出它的平面角,然后将它放到一个三角形中,通过解三角形知识证明该角是直角即可.利用判定定理证明面面垂直的关键是在一个面内找到另一个平面的一条垂线,把问题转化为该直线同另一个平面内的两条相交直线垂直即可.2.如何理解二面角的有关计算？剖析:(1)二面角的平面角,是用来刻画二面角大小的一个概念.它和两条异面直线所成的角以及直线和平面所成的角一样,都化归为用平面内两条相交直线所成的角来表示.但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱,二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内.而且二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的,与二面角的平面角的顶点在棱上的位置无关.(2)二面角的计算方法①用定义作二面角的平面角——在棱上取一点,分别在两个面内作棱的垂线,这两条射线组成二面角的平面角.利用定义作二面角的平面角,关键在于找棱及棱上的特殊点.学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用.②用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面,则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.
③面积法:如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形,且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ,则cosθ=.二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系,但是如何度量二面角的大小是一难点.根据两条异面直线所成角的概念,自然想到用“平面化”的思想来定义二面角,即用“平面角”来度量“二面角”.当我们选择一种方法来度量一个量时,必须考虑“唯一性”的问题,在各种几何元素的位置关系中,垂直具有“唯一性”,可以作为分界点.实际上,若在二面角的棱上任取一点,在两个半平面内作一条射线,虽然它们可构成一个平面角,但这样的角的大小会由于所作射线的位置不同而改变,因此不具有“唯一性”.但如果所作的直线与棱垂直,因为过一点在一个平面内引棱的垂线有且仅有一条,所以过棱上一点所作的角是唯一的.由平面几何的知识和等角定理可知,这样所作的角都不会因棱上点的变化而变化,因此,可用这样的二面角去刻画两个平面的位置关系.
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