高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定 课件

2.3.2平面与平面垂直的判定 1.了解二面角及其平面角的概念.2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直的问题. 121.二面角 12 12名师点拨1.二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的,与选择棱上的点的位置无关.2.构成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直. 12【做一做1-1】在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是()A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂βB.AO⊥l,BO⊥lC.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂βD.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β解析:根据二面角的平面角的定义可知选D项.答案:D 12【做一做1-2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不作辅助线,写出二面角A1-AB-D的一个平面角为.解析:因为AD⊂平面ABD,A1A⊂平面A1AB,AD⊥AB,AA1⊥AB,所以∠A1AD是二面角A1-AB-D的一个平面角,同理∠B1BC也是它的一个平面角.答案:∠A1AD(或∠B1BC) 122.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示. 12(3)判定定理 12名师点拨平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决. 12【做一做2-1】在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面ABCD垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:与平面ABCD垂直的平面有:平面ABB1A1,平面ADD1A1,平面BCC1B1,平面CDD1C1.答案:D 12【做一做2-2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD⊥平面BDD1B1.证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,所以平面ABCD⊥平面BDD1B1. 121.理解二面角及其平面角剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平面图形转化的思想.(2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.(3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角相等,相邻的两个二面角互补. 122.处理翻折问题的关键剖析:处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生变化,那么发生了怎样的变化,还有哪些没有发生变化,切不可混淆不清.例如:在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2,如图①.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B,A1P,EP,如图②.下面探讨平面BA1E是否与平面BEP垂直. 12根据图①,由平面几何的知识,可得EF⊥AE,EF⊥BE.在图②中,这两个位置关系没有变化,而点A,B,E的相对位置关系发生了变化,翻折前这三点共线,但是翻折后不共线.不妨设正三角形ABC的边长为3,则在图③中,取BE的中点D,连接DF. 12因为AE∶EB=CF∶FA=1∶2,所以AF=AD=2.而∠A=60°,所以△ADF为正三角形.又AE=DE=1,所以EF⊥AD.则在图②中,A1E⊥EF,BE⊥EF,所以∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角.所以∠A1EB=90°.所以A1E⊥BE.又BE∩EF=E,所以A1E⊥平面BEP.因为A1E⊂平面BA1E,所以平面BA1E⊥平面BEP. 题型一题型二【例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1-BC-D的平面角.解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,所以BC⊥平面D1C.又D1C⊂平面D1C,所以BC⊥D1C,所以∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角. 题型一题型二【变式训练1】如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,其他四个侧面都是等腰三角形,找出二面角V-AB-C的平面角. 题型一题型二解:如图,作VO⊥平面ABCD,垂足为O,则VO⊥AB,取AB的中点H,连接VH,OH,则VH⊥AB.因为VH∩VO=V,所以AB⊥平面VHO,所以AB⊥OH.所以∠VHO为二面角V-AB-C的平面角. 题型一题型二【例2】如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置,使CD=AC,求证:平面ABD⊥平面ABC. 题型一题型二证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.因为AD=DB,所以DO⊥AB.又△ABD≌△ABC,所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,所以DO⊥平面ABC.又DO⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABC. 题型一题型二(方法二)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.则有OD⊥AB,OC⊥AB,即∠COD是二面角C-AB-D的平面角.因为CD=AD=AC,所以CD=a,所以CD2=OC2+OD2.所以△COD是直角三角形,即∠COD=90°.所以二面角C-AB-D是直二面角,即平面ABD⊥平面ABC. 题型一题型二反思1.证明平面与平面垂直的方法有两个:(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角;(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.2.根据面面垂直的定义判定两个平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角.通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法,即要证明面面垂直,只需要证明线面垂直.其关键与难点是在其中一个平面内寻找一条直线与另一平面垂直. 题型一题型二【变式训练2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.求证:平面ABM⊥平面A1B1M. 题型一题型二证明:由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.