高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 学案

第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定学习目标1.探究平面与平面垂直的判定定理,二面角的定义及应用,培养学生的归纳能力.2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用,培养学生的空间想象能力.3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.合作学习一、设计问题,创设情境为了解决实际问题,人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时,为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度;发射人造地球卫星时,使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此,我们引入二面角的概念,研究两个平面所成的角.二、信息交流,揭示规律问题1:前边列举过门和墙所在平面的关系,随着门的开启,其所在平面与墙所在平面的相交程度在变,怎样描述这种变化呢?问题2:什么是平面与平面的角呢?问题3:什么是二面角的平面角?问题4:类比直线与平面的垂直,如何判定两个平面垂直呢?三、运用规律,解决问题【例1】如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C为圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 【例2】如图,ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°.(1)求证:平面PBD⊥平面PAC;(2)求二面角APBD的余弦值.四、变式演练,深化提高如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.(1)求证:直线MF∥平面ABCD;(2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1;(3)求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.五、反思小结,观点提炼本节课我们学习了哪些知识?六、作业精选,巩固提高课本P73习题2.3A组第1,2,3题.参考答案二、问题1:两个平面存在角,角的大小通过平面角来刻画.问题2:(1)二面角的有关概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.(2)二面角的画法(3)二面角的表示方法 如图中,棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角αABβ.有时为了方便也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角PABQ.问题3:如图,在二面角αlβ的棱上任一取点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.再取棱上另一点O',在α和β内分别作l的垂线O'A'和O'B',则它们组成角∠A'O'B'.因为OA∥O'A',OB∥O'B',所以∠AOB及∠A'O'B'的两边分别平行且方向相同,即∠AOB=∠A'O'B'.从上述结论说明了:按照上述方法作出的角的大小,与角的顶点在棱上的位置无关.由此结果引出二面角的平面角概念:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.图中的∠AOB,∠A'O'B'都是二面角α—l—β的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.两个平面互相垂直的定义可表述为:如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直.直二面角的画法:如图问题4:一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为:⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为:如图.三、【例1】证明:设☉O所在平面为α,由已知条件,PA⊥α,BC⊂α,∴PA⊥BC.∵C为圆周上不同于A,B的任意一点,AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线,∴BC⊥平面PAC.∵BC⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.【例2】 解:(1)证明:设AC与BD交于点O,连接PO,∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD.又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.(2)作AF⊥PB于点F,作AE⊥PO交点于E,连接EF,由(1)知AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB.∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.∴∠AFE为二面角APBD的平面角.在Rt△AEF中,AE=,AF=,∴sin∠AFE=,cos∠AFE=.∴二面角APBD的余弦值为.四、1.解:(1)证明:延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.∵F是BB1的中点,∴F为C1N的中点,B为CN的中点.又M是线段AC1的中点,故MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD,AN⊂平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.(2)证明:连接BD,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,可知AA1⊥平面ABCD,又∵BD⊂平面ABCD,∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A=A,AC,A1A⊂平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,∴四边形DANB为平行四边形.故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1,∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.(3)由(2)知BD⊥平面ACC1A1,又AC1⊂平面ACC1A1,∴BD⊥AC1.∵BD∥NA,∴AC1⊥NA.又由BD⊥AC,可知NA⊥AC,∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角. 在Rt△C1AC中,tan∠C1AC=,故∠C1AC=30°.∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°.五、知识总结:利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题.