平面与平面垂直性质判定

平面与平面垂直的判定和性质 一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、根据定义作出来2、利用直线和平面垂直作出来3、借助三垂线定理或其逆定理作出来1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。221、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量 一、两个平面垂直的定义[情境问题]（1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？　　（2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？　　容易得出结论：电线杆与地面应该垂直，否则容易倾倒；如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌墙时，不能让墙面倾斜．　　（3）我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜”这一事实呢？［探索研究］1．平面与平面垂直的定义　　如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定定理　　提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？ 二、两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）．求证：α⊥β。[证明]：设α∩β=CD，∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．∴α⊥β。 三、两个平面垂直的性质定理[情境问题]：为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直．当书面沿书面与桌面的交线转动时，它会怎么样呢？[探索研究]：如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？由物理学原理知，它会倒塌． 三、两个平面垂直的性质定理如图2，α⊥β，AB⊂α，AB⊥CD，α∩β=CD，求证：AB⊥β。[分析]在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需证AB垂直于β内的两条相交直线就行。而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一条就够了。而我们还有α⊥β这个条件没使用，由α⊥β定义，则∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，问题也就得到解决． 四、两个平面垂直的性质[两个平面垂直的性质定理1]如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．[两个平面垂直的性质定理2]如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 五、两个平面垂直应用举例例题如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即∠ACB是二面角A-VC-B的平面角．由∠ACB是直径上的圆周角，知∠ACB=90°。因此，平面VAC⊥平面VBC．由DE是△VAC两边中点连线，知DE∥AC，故DE⊥AC．由两个平面垂直的性质定理，知直线DE与平面VBC垂直。注意：本题也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，推出上面的结论。 ［总结提炼］☆课本第37页上的例2也可以当作面面垂直的一条性质定理☆在解题时注意应用☆证明面面垂直要从寻找面的垂线入手☆理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义☆定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 1．给出下列四个命题：　　①垂直于同一个平面的两个平面平行；　　②垂直于同一条直线的两个平面平行；　　③垂直于同一个平面的两条直线平行；　　④垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的命题的个数是（     ）．A．1        B．2          C．3          D．4六、两个平面垂直课堂练习B2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面）。　　①若a⊥b，a∥α，则b⊥α；　　②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；　　③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β；　　④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。其中不正确的命题的个数是（     ）．A．1        B．2           C．3         D．4D 3．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是（     ）A.30°，B.30°或150°，C.45°，D.45°或135°。如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则∠ABC=45°，∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。设AB=a,则AC=，AO=则sin∠ACO=∴∠ACO=45°六、两个平面垂直课堂练习AαBβOCD 4．线段AB长为2a，两端点A，B分别在一个直二面角的两个面内，且AB与两个面所成的角分别为30°和45°，设A，B两点在棱上的射影分别为A′，B′，则A′B′长等于（     ）．αβAA′BB′C提示：利用直线与平面所成用的定义和垂直关系得：∠BAB′=30°，∠ABA′=45°∴在Rt△BB′A中，BB′=AB/2=a，在Rt△BB′A′中，在Rt△BA′A中 作业：P39页，8，9题