2.3.2平面与平面垂直的判定教学目的：1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角：3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定教学难点：二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定教学过程：一、复习引入：1斜线，垂线，射影⑴垂线自一点向平面引垂线，垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线一条育•线和一个平面相交，但不和这个平面垂宜,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段2.直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0。角.直线和平面所成角范围：[0,-]2二、讲解新课：1二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为儿两个面分别为Z0的二面角记为a—l—卩；二面角的图形表示:第一种是卧式法，也称为平卧式:第二种是立式法，也称为肓立式:
解：取BC的中点E,连接AE,DE,D则AE=—,DE=—,AD=\f22由余弦定理得cosWD冷2.二面角的平面角：(1)过二面角的棱上的一点0分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,0B,则厶0B叫做二而角a-l-0的平而角(2)一个平面垂直于二面角a-l-0的棱/，且与两半平面交线分别为0A,0B,0为垂足，则ZAOB也是a-l-0的平面角说明：(1)二面角的平面角范围是［0\180°］；(2)二面角的平面角为直角时，则称为盲二面角，组成育•二面角的两个平面互相垂直3.面面垂直的判定定理一个人平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”的问题图形表示：符号表示：三、讲解范例：例1在止四面体ABCD中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小・・•正四面体ABCD,ABC丄丄ED于E,・・・ZAED为二面角A-BC-D的平面角，方法一：设正四面体的棱长为1,方法二（向量运算）令AB=afAC=h,AD=c,棱长为1,―—►1-11-1TEAED=[——（a+Z?）J-[c——a——b]=-,2224又V|E4|=|£D|=—,AcosZAED=-23即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为arccos-・3
例2・在棱长为1的止方体AC】中,(1)求二面角A-BQ-C的大小；(2)求平面C.BD与底而ABCD所成二而角C.-BD-C的平而角大小AB解：(1)取BQ中点Q,连接AQ,CO|,・.・正方体AC,,:.BQ丄AO】,CO】丄BQ,・・・ZAO}C即为二面角A—BQ—C的平面角,在AAOC中，AO、=CO\=写,AC二迥,可以求得cosZAO}C=丄即二面角人一BQ-C的大小为arccos丄・AB(2)过G作CQ丄3D于点0,•・•正方体ACP・・・CC］丄平W1ABCD,・•・ZC0C、为平面C}BD与平面ABCD所成二面角Q-BD-C的平面角，可以求得：tanZC0C,=^2所以，平面C\BD与底面ABCD所成二面角C、_BD_C的平面角大小为arctan\/2・说明：求二面角的步骤：作一一证一一算一一答例3.已知：二面角a-1-^AAea.A到平面0的距离为2^3,A至I”的距离为4,求二而角a-l-0的大小解：作A0丄/于点0,AB丄平面0于点B,连接B0,VAB丄0于点B,A0丄/于点0,・•・】丄OB,・・・ZAOB即为二面角a-l-0的平面角,
易知，AB=2希,A0=4,
・・・ZAOB=60°即二面角a-l-0的大小为60°・说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线则已经有三种作二面角的平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法例4.如图，丄平面BCD,BD丄CD,若AB=BC=2BD，求二面角B-AC-D的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D作DE丄AC于E,过E作EF丄AC交于F,连结DF,则C垂直于平面DEF,ZFED为二面角B-AC-D的平面角，・•・4C丄DF,乂AB丄平面BCD,AAB丄DF,A3丄CD,・•・DF丄平面ABC,:•DF丄EF,DF丄BC,又AB丄CD,BD丄CD,:.CD丄平面ABD,；・CD丄AD,设=贝'JAB=BC=2a,S'BCD气BC.DF气BD・CD,DF——a2同理,RtAACD中，DE•:sinZFED=DF~DEVio"T"所以,二面角B-AC-D的正弦值为迈在Rt\BCD中，D四、课堂练习:1如图所示，已知PA丄面ABC,S、pbc=S,S,\bc=S',二面角P-BC-A的平面角为&，求证：Scos=S'证明：过P作BC的垂线，垂足为D,连接ADTPA丄平面ABC,BCu平面ABC,BC丄PD:.BC丄AD・•・ZPDA为二面角P-BC-A的平面角，即ZPDA=e・.・PA丄面ABC・・・PA丄ADAF)PDT\PAD是直角三角形•••cosZPAD=——
又・・・S、PBC=^CPD=S,Smbc=^BCAD=S^/•cosZPAD=一/•cos&二一即S•cos&=S"ss说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法2.如图，在空间四边形ABCD中，ABCD是正三角形，AABD是等腰直角三角形，_BLZBAD=90,又二面角A-BD-C为直二面角，求二面角A-CD-B的大取CD中点E,F为DE中点，连接HB则小解：过A作AH丄BD于H・・•二面角A-BD-C为直二面角・・・丄面BCDJBE丄CD:.HF//BE:.EF丄CD:.HF丄CDAhJ^BE当晶書a・・・ZAFH为二面角A_BD_C的平面角令AB=a,：'HF=^a•••在叫和中论AS罟二討・•・arctan3即二面角A-CD-B的大小为arctan出232.设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的屮点O,AC=BC=1,CD=42，求(1)AC与平面BCD所成角的大小；(2)二面角A-BC-D的大小；(3)异面直线和CD的大小解：(1)•.*AO1BCD:.AO1CO・•・ZACO为AC与面BCD所成角・.・BC=\,CD=y^・・・BD=y/31RR:.CO=-BD=—:.cosZACO=—222即AC与平面BCD所成角的大小为壬6D
(2)取BC中点E,连接OE,AE:.OEIICD•・•CD丄BC・•・OE丄BC又IAO丄面BCD:.AE丄BC・・・ZAEO为二面角A-BC-D的平面角又・.・OE=-CD=—.AO=-222・.・AO丄OE:.tanZAEO=—=—ZAEO=arctan—OE22即二面角A-BC-D的大小为arctan—2(3)取AC的中点E,连接EF,OF,则EF//AB.OE//CDAOE与EF所成的锐角或直角即为异面直线AB和CD所成角易求得ZOEF=45°即异面直线AB和CD所成角为45。五、小结：1.二面角的定义、画法.2.二面角的平面角的定义、作法.3•求简单的二面角的大小.
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