高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2平面与平面垂直的判定 ppt课件

2.3.2面面垂直的判定——二面角 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。线面垂直的判定线线垂直垂直面内相交线面垂直 PO∩a=O,O为斜足PQ⊥a,Q为垂足OQ是PO在平面a上的射影∠POQ是斜线PQ与平面a所成的角.OPa直线和平面所成的角Q 在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 在立体几何中，“异面直线所成的角”在立体几何中,“直线和平面所成的角”范围：(0o,90o]范围：[0o,90o] 问题1、当我们要求别人将一扇门(如教室门)开大点,或开小点时,用什么来度量,可以使开门的人能准确地按要求开门?如图,两个平面相交,常要研究交成的角的大小,这就需要引入二面角。【1】二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。如图,ablABPQ记作二面角a-l-b,或二面角a-AB-b,二面角P-l-Q,二面角P-AB-Q.二面角 ①平卧式：②直立式：llAB二面角的画法二面角－l－二面角－AB－二面角C－AB－DABCD 【2】二面角的平面角abl要研究和度量二面角的大小,我们把它转化成从一点出发的两条射线的夹角。以二面角的棱上任意一点为端点,二面角的大小就由它的平面角确定.ABO·在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. abl如图,以棱l上任一点O为端点,在半平面a内作OA⊥l,在半平面b内作OB⊥l,则∠AOB就是二面角a-l-b的平面角.∠AOB的大小就是二面角a-l-b的大小.ABO· OAB二面角的范围为：①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°lOAB②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直[0°，180°] 卫星轨道平面68.5º我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5º赤道平面即卫星轨道平面与赤道平面所成的二面角是68.5 问题2.如图,△ABC和△DBC是空间的两个等边三角形,∠ABD和∠ACD是二面角A-BC-D的平面角吗?如果不是,你能找出它的一个平面角吗?∠ABD和∠ACD都不是二面角A-BC-D的平面角,因为它们的边与二面角的棱BC不垂直取BC的中点E,连结AE、DE,∠AED就是二面角A-BC-D的平面角则AE⊥BC,DE⊥BCABCDE ABCDA1B1C1D1问题3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,怎样计算二面角A1-BD-C1的余弦值.解:取BD的中点O连结A1O,C1OA1B=A1DOA1O⊥BD∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角EBC1=C1DC1O⊥BD ABCDA1B1C1D1O∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角连结A1C1，在△A1BD中OA1C1BA1D在△A1OC1中O 4.如图,三棱锥V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=VC=1,试画出二面角V-AB-C的平面角,并求它的度数.VBCA解:取AB的中点D,连结VD,CD,·D而VA=VB=AC=BC=2,∴VD⊥AB,CD⊥AB,则∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.而则由勾股定理求得VD=CD=1,又VC=1,∴△VCD是等边三角形,∠VDC=60,即二面角V-AB-C的大小为60. 7.如图,正方体ABCD-ABCD中平面ABCD与正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少?ABCDACDB解:与上底面所成二面角的平面角是∠BCB=45.与下底面所成二面角的平面角是∠CBC=45.与前面所成二面角的平面角是∠BBC=45.与后面所成二面角的平面角是∠BCC=45.平面AC过左、右面的垂线AB,所以与左、右面成90的二面角. 例(补充).如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//DC,AB⊥BC,PC⊥平面ABCD,PC=CB=BA=2,DC=4,求二面角P-AD-C的正切值.分析:目标:在平面PAD内找AD的垂线,在平面ABCD内找AD的垂线.凭直观,考查图中已有的角,线,点等.找二面角P-AD-C的平面角.PD,CD⊥AD否?不垂直.PA,BA⊥AD否?BA与AD不垂直.则考虑连结AC,得∠ACD=45,如果AC⊥AD,需∠CDA=45.在底面梯形中可求得∠CDA=45.ABCDP 解:∵PC=CB=BA=2,DC=4,ABCDP∴ABCE是正方形.E取DC的中点E,连结AE,AC.得AE⊥DC,AE=DE,∴AD⊥AC.∵PC⊥平面ABCD,则∠ADE=45.∴PC⊥AD.AB⊥BC,又∠ACD=45,则AD⊥平面PAC,∴得AD⊥PA.则∠PAC为二面角P-AD-C的平面角.在底面求得AC=∴tan∠PAC=例(补充).如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//DC,AB⊥BC,PC⊥平面ABCD,PC=CB=BA=2,DC=4,求二面角P-AD-C的正切值. 在正方体ABCD-ABCD中,求二面角A-BC-B的正切值.ABCDABCDG解:连结BC交BC于G,连结AG,∵AB⊥BC,则BG⊥BC.得BC⊥AG.∴BC⊥平面ABG.∴∠AGB为二面角A-BC-B的平面角.在Rt△ABG中,则BG=设AB=1, 【课时小结】1.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.ablABPQ记作二面角a-l-b,二面角a-AB-b,二面角P-l-Q,二面角P-AB-Q. 【课时小结】2.二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角确定.ablABO·ablABO∠AOB是二面角a-l-b的平面角. 【课时小结】3.求二面角的大小(1)找到二面角的两个半平面与棱.(2)找二面角的平面角.在两个半平面内找垂直于棱的直线,垂足为棱上同一点.常用到线线垂直与线面垂直的转换.(3)通常在直角三角形中求平面角的大小.