（直线与平面垂直平面与平面垂直的性质）ppt课件

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质点、直线、平面之间的位置关系 ⒈理解直线与平面垂直的性质定理，平面与平面垂直的性质定理，并能利用性质定理解决有关问题．⒉了解直线与平面，平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系. 基础梳理1．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线______符号语言⇒______图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线平行a∥b 练习1.正方体AC1中，求证AC⊥平面BB1D1D.证明：由正方体的性质可知AC⊥BD，BB1⊥平面AC，所以BB1⊥AC，因为BD与BB1相交，所以AC⊥平面BB1D1D.2．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则__________垂直于______的直线与另一个平面______符号语言⇒a⊥β 图形语言作用①面面垂直⇒______垂直；②作面的垂线2．一个平面内 交线 垂直a⊂αa⊥l线面练习2.直线与平面不垂直，那么该直线与平面内的所有直线都不垂直对吗？错 思考应用1．垂直于同一平面的两平面平行吗？解析：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？解析：不一定．只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面． 自测自评1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有(  )A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b∥α或b⊂α2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(  )A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内DD 3．若直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的命题是(  )A．①②  B．③④C．②④  D．①③D 4．如图，▱ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________. 线面垂直性质的应用如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)取PD的中点E，连接NE，又N为PC中点，则NE∥CD，NE＝CD.又∵AM∥CD，AM＝CD，∴AM綊NE.∴四边形AMNE为平行四边形．∴MN∥AE. ∴MN⊥CD.(2)当∠PDA＝45°时，Rt△PAD为等腰直角三角形，则AE⊥PD.又MN∥AE，∴MN⊥PD.又PD∩CD＝D，∴MN⊥平面PCD.点评：线面垂直是空间垂直关系的核心，是联系线线垂直，面面垂直，线面、面面平行的相互转化的桥梁． 跟踪训练1．已知，如图，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.证明：过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ.∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c①∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c.又a′∥a，∴a′⊥c②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c. 面面垂直性质的应用如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来解．(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．点评：证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合． 跟踪训练2.（2012·广东高考理）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA=1，AD=2，求二面角B－PC－A的正切值 综合应用如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 解析：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE， 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E.PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.点评：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题． 跟踪训练3．如图，在三棱锥PABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P–ABC的体积．解析：证明：(1)因为△PAB是等边三角形，所以PB＝PA，因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC＝BC. 如图，取AB中点D，连接PD、CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，又因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC.(2)作BE⊥PC，垂足为E，连接AE.因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因为∠AEB＝90°，∠PEB＝90°，AE＝BE，AB＝PB，所以Rt△AEB≌Rt△BEP，所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.因为PC⊥平面AEB，所以三棱锥P–ABC的体积V＝·S·PC＝. 1．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线(  )A．只有一条        B．有无数条C．是平面α内的所有直线D．不存在解析：找到a在平面α内的射影，在平面α内有无数条直线与射影垂直，也与a垂直．答案：B 2．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(  )A．ACB．BDC．A1DD．A1D1解析：∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE.答案：B 1．(1)直线与平面垂直的性质：①定义：若a⊥α，b⊂α，则a⊥b；②性质定理：a⊥α，b⊥α，则a∥b；③a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平面与平面垂直的性质：①性质定理：α⊥β，α∩β＝l，m⊂β，m⊥l，则m⊥α.②如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．2．直线与平面垂直的性质、面面垂直的性质，结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直、面面垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化.