高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 课件

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质 目标导航课标要求1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.素养达成通过对直线与平面垂直的性质和面面垂直性质定理的学习,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 新知导学·素养养成1.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线.符号语言图形语言a∥b平行 2.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则垂直于的直线与另一个平面.符号语言图形语言一个平面内交线垂直 名师点津(1)对线面垂直定理的理解①直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.②定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.(2)对面面垂直的性质定理的理解①定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直.②已知面面垂直时,可以利用此定理转化为线面垂直,再转化为线线垂直. 课堂探究·素养提升题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用[例1]如图,已知正方体A1C. 证明:(1)如图,连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形,所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1=C1,所以B1D1⊥平面A1C1C.又因为A1C⊂平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1.(1)求证:A1C⊥B1D1; 证明:(2)如图,连接B1A,AD1.因为B1C1AD,所以四边形ADC1B1为平行四边形,所以C1D∥AB1.因为MN⊥C1D,所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1,AB1∩B1D1=B1,所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1=B1,所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.(2)M,N分别为B1D1与C1D上的点,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求证:MN∥A1C. 方法技巧证明线线平行常有如下方法:(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点;(2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线;(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行;(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直;(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行. 即时训练1-1:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1. 证明:如图所示,连接AB1,B1D1,B1C,BD,因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1B1,又BD1⊂平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥A1D,A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又因为EF⊥AC,AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C,所以EF∥BD1. [备用例1]如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PB⊥平面ABCD.(1)若AC=6,BD=8,PB=3,求三棱锥A-PBC的体积; (2)若点E是DP的中点,证明:BD⊥平面ACE.(2)证明:如图,设BD与AC相交于点O,连接OE,因为O为BD的中点,E是DP的中点,所以OE∥PB.又PB⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD.因为BD⊂平面ABCD,所以OE⊥BD,由(1)知AC⊥BD,又AC∩OE=O,所以BD⊥平面ACE. 题型二 平面与平面垂直的性质定理的应用[例2](12分)如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. [规范解答]证明:(1)连接PG,由题知△PAD为正三角形,G是AD的中点,则PG⊥AD.…………………………………………………………………1分又因为平面PAD⊥平面ABCD,PG⊂平面PAD,所以PG⊥平面ABCD.…………………………………………………3分因为BG⊂平面ABCD,所以PG⊥BG.…………………………………………………………4分又因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形.则BG⊥AD.……………………………………………………………6分又因为AD∩PG=G,且AD,PG⊂平面PAD,所以BG⊥平面PAD.………8分(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB.[规范解答]证明:(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD.又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PBG.…………………………………………………10分因为PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.………………………………………………………12分 方法技巧证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线. 即时训练2-1:如图,四棱锥VABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.证明:因为平面VAB⊥底面ABCD,且BC⊥AB.所以BC⊥平面VAB,所以BC⊥VA,又VB⊥平面VAD,所以VB⊥VA,又VB∩BC=B,所以VA⊥平面VBC,因为VA⊂平面VAC.所以平面VBC⊥平面VAC. [备用例2]如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ABE为等腰三角形,AE=BE,平面ABCD⊥平面ABE,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥平面BCE;(1)证明:因为BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,所以BF⊥AE,又因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,BC⊥AB,所以BC⊥平面ABE,从而,BC⊥AE,且BC∩BF=B,所以AE⊥平面BCE. (2)求点D到平面ACE的距离. (1)求证:EO∥平面PCD; (2)求证:CD⊥平面PAC;(2)证明:因为平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PA⊥平面ABCD,因为CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,因为AC⊥CD,AC∩PA=A,所以CD⊥平面PAC. (3)在线段PD上是否存在点F,使得CF⊥AD,并说明理由.(3)解:在线段PD上存在点F,使得CF⊥AD.理由如下:过C作CG⊥AD,交AD于G,作GF⊥AD,交PD于F,连接CF,因为CG⊥AD,GF⊥AD,CG∩GF=G,所以AD⊥平面CFG,所以AD⊥CF,故在线段PD上存在点F,使得CF⊥AD. 方法技巧(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件,对于一些较复杂的问题,注意应用转化思想解决问题. 即时训练3-1:已知:如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;证明:(1)在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC于点F,作DG⊥AB于点G.因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC,所以DF⊥PA.同理可证,DG⊥PA.因为DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC. (2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.证明:(2)连接BE并延长交PC于点H.因为E是△PBC的垂心,所以PC⊥BH.又因为AE是平面PBC的垂线,所以PC⊥AE.因为BH∩AE=E,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.因为PA∩PC=P,所以AB⊥平面PAC.所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形. [备用例3]如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起. (1)如果二面角A-DE-C是直二面角,求证:AB=AC;证明:(1)过点A作AM⊥DE于点M,则AM⊥平面BCDE,所以AM⊥BC.又AD=AE,所以M是DE的中点.取BC的中点N,连接MN,AN,则MN⊥BC.又AM⊥BC,AM∩MN=M,所以BC⊥平面AMN,所以AN⊥BC.又因为N是BC的中点,所以AB=AC. (2)如果AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE.证明:(2)取BC的中点N,连接AN.因为AB=AC,所以AN⊥BC.取DE的中点M,连接MN,AM,所以MN⊥BC.又AN∩MN=N,所以BC⊥平面AMN,所以AM⊥BC.又M是DE的中点,AD=AE,所以AM⊥DE.又因为DE与BC是平面BCDE内的相交直线,所以AM⊥平面BCDE.因为AM⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCDE. 课堂达标1.若a,b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的个数为()①a⊥α,b∥α⇒a⊥b;②a⊥α,a⊥b⇒b∥α;③a∥α,a⊥b⇒b⊥α;④a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(A)1(B)2(C)3(D)0B解析:由线面垂直的性质知①④正确.②中b可能满足b⊂α,故②错误;③中b可能与α相交(不垂直),也可能平行,也可能b⊂α,故③不正确.故选B. 2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()(A)相交(B)异面(C)平行(D)不确定C解析:因为l⊥AB,l⊥AC,AB⊂α,AC⊂α且AB∩AC=A,所以l⊥α,同理可证m⊥α,所以l∥m.故选C. 3.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则()(A)直线a必垂直于平面β(B)直线b必垂直于平面α(C)直线a不一定垂直于平面β(D)过a的平面与过b的平面垂直C解析:α⊥β,a⊂α,b⊂β,a⊥b,当α∩β=a时,b⊥α;当α∩β=b时,a⊥β,其他情形则未必有b⊥α或a⊥β,所以选项A,B,D都错误,故选C. 4.已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如图所示,且AF=DE,AD=6,则EF=.解析:因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE,又AF=DE,所以四边形AFED是平行四边形,所以EF=AD=6.答案:6 5.如图,在三棱锥P-ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=.