2.3.3直线与平面垂直的性质
1.探究并掌握直线与平面垂直的性质定理.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用.
直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线_____.简记为：若线面垂直则线线平行.(2)符号语言：(3)图形语言：平行a⊥αb⊥α_____.b∥a
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)若a∥α,b⊥α,则a与b垂直且相交.()(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的两条直线也平行.()(3)已知直线a⊄α,a⊥b,b⊥α,则a∥α.()
提示：(1)错误.a与b一定垂直,但不一定相交.(2)错误.由性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行,但垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或者异面.(3)正确.由题设b⊥α,知直线b与平面α有交点,设交点为Q,过直线a和点Q作平面β交平面α于过点Q的一条直线a′,则a′⊂α.因为b⊥α,所以b⊥a′,又因为a⊥b,a,a′均在平面β内,所以a∥a′,因为a⊄α,a′⊂α,所以a∥α.答案：(1)×(2)×(3)√
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)若两条直线a⊥b,且a⊥平面α,则b与α的位置关系是.(2)AB是平面α的斜线段,其长为a,它在平面α内的射影A′B的长为b,则垂线A′A=.
(3)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面ABCD垂直的直线是.这些直线的位置关系是.
【解析】(1)若b在平面α外，则在α内能找到和b平行的直线，此时b∥α，否则b在平面内.答案：b∥α，或(2)斜线段、射影和垂线构成直角三角形，利用勾股定理得答案：(3)根据图形可得线面垂直及其位置关系.答案：A1A,B1B,C1C,D1D平行
直线与平面垂直的性质定理根据直线与平面垂直的性质定理及其符号表示a⊥α,b⊥α⇒a∥b,探究下列问题.探究1：观察直线与平面垂直的性质定理的符号表示,思考下面的问题：(1)直线与平面垂直的性质定理有几个条件?提示：直线与平面垂直的性质定理有两个条件,即这两条直线都与平面垂直.
(2)直线与平面垂直的性质定理的作用是什么?提示：直线与平面垂直的性质定理告诉我们可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行,不仅揭示了线面之间的位置关系,而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.垂直于同一个平面的两条直线平行.
探究2：如果三条直线都垂直于同一个平面,这三条直线有什么位置关系?提示：根据直线与平面垂直的性质定理,这三条直线平行.
探究3：两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条与该平面有什么位置关系?提示：另一条也垂直于该平面.
【探究提升】1.直线与平面垂直的性质定理的三点说明(1)性质定理的前提是直线与平面垂直.(2)性质定理的结论是线线平行.(3)性质定理的作用：主要用于证明线线平行.2.直线与平面垂直的常见性质(1)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.(2)过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.(3)垂直于同一直线的两个平面平行.
类型一直线与平面垂直的性质定理的应用尝试完成下列题目，体会直线与平面垂直的性质定理的应用，并归纳直线与平面垂直的性质定理的两个关注点.1．(2013·湛江高一检测)下列说法正确的有()A.①②B.①③C.②③D.③④
2.如图,已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a⊂α,a⊥AB.求证：a∥l.【解题指南】1.利用直线与平面位置关系分析.2.利用线面垂直的性质定理,只需证a和l都垂直于同一个平面.
【解析】1.选A.①②显然正确.对于③，结果应为b∥α或b⊂α，对于④结果可能是b∥α或b与α相交或b⊂α.2．又因为a⊂α，EA⊥α，所以a⊥EA.又因为a⊥AB，EA∩AB=A，所以a⊥平面EAB.所以a∥l.
【技法点拨】线面垂直性质定理的两个关注点(1)利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.(2)蕴含的数学思想：转化思想,即把线面关系转化为线线关系,把空间问题转化为平面问题.
类型二直线与平面垂直的综合应用尝试完成下列题目,总结利用线面垂直的判定定理证明线线、线面垂直问题的解题策略.1.(2013·银川高一检测)设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,给出下列说法：①若l⊥α,则l与α相交;②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;
③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n.其中正确的说法的序号为.
2.(2013·宿州高一检测)如图,在底面是菱形的四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,SB=SD=2.(1)证明：BD⊥平面SAC.(2)问：侧棱SD上是否存在点E,使得SB∥平面ACE?请证明你的结论.
【解题指南】1.根据线面垂直以及平行的性质来判断.2.(1)利用菱形和边长求解线面垂直.(2)SD的中点即为所求.
【解析】1.由于垂直是直线与平面相交的特殊情况,故①正确;由于m,n不一定相交,故②不正确;根据平行线的传递性,故l∥n,又l⊥α,故n⊥α,从而③正确;由m⊥α,n⊥α知m∥n,故l∥n,故④正确.答案：①③④
2.(1)因为四棱锥S-ABCD的底面是菱形,所以BD⊥AC且AD=AB,又SA=AB=2,SB=SD=2.所以SA2+AB2=SB2,SA2+AD2=SD2,所以SA⊥AB,SA⊥AD,又AB∩AD=A,所以SA⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,从而SA⊥BD.又SA∩AC=A,所以BD⊥平面SAC.
(2)在侧棱SD上存在点E,使得SB∥平面ACE,其中E为SD的中点.证明如下：O为BD的中点,又E为SD的中点,连接OE,则OE为△SBD的中位线.所以OE∥SB,又OE⊂平面AEC,SB⊄平面AEC,所以SB∥平面ACE.
【互动探究】题2其他条件不变，若∠BAD=120°，则几何体A-SBD的体积是多少？【解析】当∠BAD=120°时，所以几何体A-SBD的体积为
【技法点拨】线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来.
【拓展延伸】直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面平行的证明.已知l⊥α,l⊥β.求证：α∥β.
证明：此问题即过直线l作平面γ，设γ∩α=a,γ∩β=c，则l⊥a,l⊥c，所以a∥c，因此a∥β，同理b∥β.因为a,b是平面α内的两条相交直线，所以α∥β.
1.教室内任意放一支笔直的铅笔,则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线()A.平行B.相交C.异面D.垂直【解析】选D.这支铅笔与地面存在三种位置关系,若在地面上,则C排除;若与地面平行,则B排除;若与地面相交,则A排除.
2.已知两条不同直线m,n与三个不同平面α,β,γ,下列条件能推出α∥β的是()A.α⊥γ且β⊥γB.m⊂α,n⊂β,m∥nC.m⊥α且m⊥βD.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β【解析】选C.对于A,两个平面可能相交,对于B,两条直线平行,对于两个面平行没有关系,C正确,D在直线相交情况下成立.
3.两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点.上述四个结论中,可能成立的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①③④都有可能成立,②不可能成立,故选C.
4．在长为6的线段AB的垂直平分面内有两点C,D,并且AC=5,AD=8,则C,D两点间的最大距离为______;最小距离为______.【解析】C,D两点间的最大距离为最小距离为答案：
5.已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如图所示,且AF=DE,AD=6,求EF的长.【解析】因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE,又AF=DE,所以四边形ADEF为平行四边形,所以EF=AD=6.
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