高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 练习

人民教育出版社高中必修2畅言教育2.3.3直线与平面垂直的性质一、选择题1.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是(  )A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于90°二、填空题2.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与底面ABC所成的角为45°.三、解答题3．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育4．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．5.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育答案和解析一、选择题1. D【解析】对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角，因为△A1C1B为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为二面角M－AC－B的平面角，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.二、填空题2.②④【解析】由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．三、解答题3．证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC．4．用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育(1)证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．(2)解 如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a．在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．5.(1)证明：因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA.所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.(2)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝.由题意易知DA⊥平面MAB，且PD∥MA，用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育所以DA即为点P到平面MAB的距离，所以VP－MAB＝××1×2×2＝.所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.用心用情服务教育5