2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质疱丁巧解牛知识·巧学一、直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线平行.符号语言：a⊥α,b⊥αa∥b.直线与平面垂直的性质可以作为线线平行的判定定理.同时有如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上各点到平面的距离相等.二、面面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：α⊥β,α∩β=l,aβ,a⊥la⊥β.只要有两个平面垂直，那么向交线作垂线便得线面垂直，进一步更有线与线的垂直.平面与平面垂直的判定与性质相互结合，为证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧.简言之:面面垂直,则线面垂直.三、线线、线面、面面垂直关系的转化：运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.平面与平面的垂直,一般将直线与直线垂直、直线与平面垂直三者结合在一起.问题·探究问题1在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的.在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？探究:根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆都和工件表面垂直.问题2应用两平面垂直的性质证题时，有哪些需要注意的地方？探究:需要注意的地方有三个：(1)两个垂直的平面；(2)两垂直平面的交线；(3)在其中一个平面内作垂直于交线的直线.典题·热题例1如图2-3-12，在△ABC中，∠BAC=60°，线段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H为垂足.图2-3-12求证：H不可能是△BCD的垂心.思路解析：证明“不可能”无法下手，从反面“可能”考虑，用反证法.证明：假设H是△BCD的垂心，则BH⊥CD.∵AH⊥平面DBC，DC平面DBC，∴AH⊥DC.∵AH∩BH=H，∴CD⊥平面ABH.又AB平面ABH，∴AB⊥CD.∵AD⊥平面ABC，AB平面ABC，∴AD⊥AB.
由于AD∩CD=D，∴AB⊥平面ACD.∵AC平面ACD，∴AB⊥AC.这与已知中∠BAC=60°相矛盾.∴假设不成立.故H不可能是△BCD的垂心.误区警示证明“不可能”“至多”“至少”“没有”“不等”等类型的问题，直接证明不好入手，通常采用反证法.要掌握反证法证题的基本步骤.例2如图2-3-13，在四面体ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，求证:AC⊥BD.图2-3-13思路解析：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义(或性质)得出线线垂直.证明：过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则AO⊥CD.∵AB⊥CD，AO∩AB=A，∴CD⊥平面ABO.∵BO平面ABO，∴CD⊥BO.同理,BC⊥DO.则O为△BCD的垂心，∴CO⊥BD.∵AO⊥BD，CO∩AO=O，∴BD⊥平面ACO.又∵AC平面ACO，∴AC⊥BD.深化升华从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用.例3如图2-3-14,空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA=45°，∠PBC=60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.图2-3-14思路解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.证明：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°.在Rt△APB中，∵∠ABP=45°，设PA=a，则PB=a，AB=.∵PB⊥PC，在Rt△PBC中，∵∠PBC=60°，PB=a,∴BC=2a，PC=.∵AP⊥PC,∴在Rt△APC中，AC==2a.
(1)∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB.∴BC在平面PAB上的射影是BP,∠CBP是CB与平面PAB所成的角.∵∠PBC=60°，∴BC与平面PBA所成的角为60°.(2)由上知，PA=PB=a，AC=BC=2a,∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.∴AB⊥平面PCM.深化升华本题关键要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.例4如图2-3-15，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.图2-3-15思路解析：已知条件“平面PAB⊥平面ABC，…”，使我们想到面面垂直的性质定理，便有如下解法.证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理，可证DG⊥AP.DG、DF都在平面ABC内，∴PA⊥平面ABC.(2)连结BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AB.∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.方法归纳(1)已知两个平面垂直时，通常利用面面垂直的性质定理，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面.于是面面垂直转化为线面垂直.由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.(2)的关键是要灵活利用(1)题的结论.例5已知平面α∩平面β=直线a，α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b，如图2-3-16，求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.思路解析：由求证想判定，欲证线面垂直可转证线线垂直或面面垂直.由已知想性质，面面垂直必能得到线面垂直.证明：(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC，在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.
图2-3-16∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a.同理，PN⊥a.又PMγ,PNγ,∴a⊥γ.(2)在直线a上任取一点Q，过b与Q作一个平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α,∴b∥a1.同理,b∥a2.又∵a1、a2都过点Q且平行于b,∴a1与a2重合.又a1α,a2β,∴a1与a2重合且是α、β的交线，重合于a.∵b∥a1，∴b∥a.∵a⊥γ，∴b⊥γ.深化升华证明线面垂直不仅可利用线面垂直的判定定理，也可利用面面垂直的性质定理.例6等边△ABC的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的距离为d.(1)x为何值时，d2取得最小值?最小值是多少？(2)若∠BAC=θ，求cosθ的最小值.思路解析：要注意作出正确的图形，构造恰当的函数模型.解：(1)图2-3-17(1)为折叠前的对照图，图2-3-17(2)为折叠后的空间图形.(1)(2)图2-3-17∵平面APQ⊥平面PBCQ，AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ.∴AR⊥RB.BR2=BD2+RD2=()2+()2,AR2=x2.故d2=BR2+AR2=().∴当x=时.d2取得最小值.(2)∵AB=AC=d,BC=a，
∴在等腰△ABC中，由余弦定理得cosθ=,即cosθ=.当d2=时，cosθ取得最小值.方法归纳(1)一般地,求最值问题首先要得到目标函数(求谁的最值，即推谁为目标函数，如本题中的d2和cosθ)，然后再借助于函数求最值的方法(如配方法、平均值法、判别式法、三角法、反函数法及构造法等).(2)求角度问题、求距离问题是立体几何中的两大类计算题，它从数量关系上刻画空间图形位置关系.立体几何中涉及到的距离有七种：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平面内两平行线间的距离、两条异面直线间的距离(不作研究，了解即可)、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离.
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