高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 学案

青海师范大学附属第二中学高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质学案新人教A版必修2[学习要求]1．掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；2．能运用性质定理解决一些简单问题；3．了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．[学法指导]通过“直观感知、操作确认，推理证明”，经历直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理的形成过程，进而加深对定理的理解与掌握，提高空间想象能力以及逻辑推理能力.1．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线．2．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒.3．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么(a与α的位置关系)．[问题情境]直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直及平面与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直及平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？本节就来研究这个问题．探究点一 线面垂直的性质定理问题1 若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？问题2 已知直线a⊥α、b⊥α，那么直线a、b一定平行吗？我们能否证明这一事实的正确性呢？例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面α垂直，a是α内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？探究点二 平面与平面垂直的性质定理问题 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？例2 设α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，求证：AB⊥β. 例3 设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，试判断直线a与平面α的位置关系．[达标检测]1．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两平面平行．其中正确的个数是(  )A．1B．2C．3D．42．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则(  )A．l∥γB．l⊂γC．l与γ斜交D．l⊥γ3.如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．4.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在___________．[小结]1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判定平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．3．判定线面垂直的方法主要有以下五种：①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理；④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⇒b⊥α；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⇒a⊥β.2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是(  ) ①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上；④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面．A．4B．3C．2D．12．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(  )A．相交B．平行C．异面D．相交或平行3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为(  )①⇒n⊥α；②⇒m∥n；③⇒m⊥n;④⇒n⊥α.A．1B．2C．3D．44．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的(  )A．垂心B．内心C．外心D．重心5.如图所示，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．7.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.8.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．二、能力提升9.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于(  )A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3 10．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么(  )A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行11．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1－BD－C1的大小．跟踪训练1 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.跟踪训练2 如图，已知平面α，β，α⊥β，直线a满足a⊥β，a⊄α，试判断直线a与平面α的位置关系．跟踪训练3 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.