高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 教学设计

直线与平面垂直的性质教学设计  直线与平面垂直的性质  教学目的：  1对直线与平面垂直的判定定理进一步加深理解，并应用此判定定理去处理有关垂直的问题；  2掌握直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题；能解决“当a∥α时，直线a与平面α的距离问题”；  教学重点：直线与平面垂直的性质定理教学难点：判定定理和性质定理的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教  具：多媒体、实物投影仪教学过程：  一、复习引入：  1直线和平面的位置关系  观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：直线在平面内；  直线和平面相交；  直线和平面平行——用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA。  a//aaaA  2线面平行的判定   定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：l,m,l//ml//lm3线面平行的性质  定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：l//,l,ml//m4线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面讲解新课：  1．直线和平面垂直的性质定理:  如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行  已知：如图，a,b  求证：a//b证明：假定b不平行于a，则b与a相交或异面；  若a与b相交，设abA，∵a,b    ∴过点A有两条直线与平面垂直。  此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾，∴a与b不相交；  若a与b异面，设bO，过O作b//a，∵a∴b又∵b且bbO。   ∴过点O有直线b和b垂直于与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾。  ∴b与a不异面，综上假设不成立，  ∴a//b．  2．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．  3．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．二、讲解范例：  例1已知直线l平面，垂足为A，直线APl，求证：AP在平面内证明：设AP与l确定的平面为。  lAPM如果AP不在内，则可设AM，∵l，∴lAM，又∵APl，于是在平面内过点A有两条直线垂直于l。  这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，所以AP一定在平面内例2已知一条直线l和一个平面平行，求证直线l上各点到平面的距离相等证明：过直线l上任意两点A、B分别引平面的  垂线AA,BB,垂足分别为A,B∵AA,BB∴AA//BB设经过直线AA,BB的平面为，AB∵l//∴l//AB∴四边形AABB为平行四边形∴AABBA、B是直线l上任意的两点，可知直线l上各点到这个平面距离相等例3．已知：a，b是两条异面直线，a，b，∩=l，AB是a，b公垂线，交a于A，交b于B求证：AB∥l证明方法一： 过A作b∥b，则a，b可确定一平面γ∵AB是异面垂线的公垂线，即ABa，ABb∴ABb∴ABγ  ∵aα，bβ，∩=l∴la，lb  ∴lb∴lγ∴AB∥l证明方法二：∵AB是异面直线a，b的公垂线，过AB与a作平面γ，γ∩=m∵a  ∴am  l又aAB，ABγ  bg∴m∥ABγBman  αAβ又过AB作平面g，g∩β=n同理：n∥AB  ∴m∥n，于是有m∥β又∩=l  ∴m∥l∴AB∥l  三、课堂练习：1．选择题直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是平行垂直在平面内无法确定  对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：  ①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d那么这样的直线b有  1条2条3条  无数条答案：D；D  2．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直分析：用反证法，假设这两条异面直线同时和一个平面垂直，直线和平面垂直的性质定理,那麽这两条直线平行，此与条件矛盾因此两条异面直线不能同时和一个平面垂直3．地面上有两根相距c米的直立旗杆，它们的长分别是a米，b米，求它们上端间的距离分析：如图所示，ABC为直角三角形   |AB|(ba)2c2  4．平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求  P证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO  垂直于AB、AD分析：条件知，PO分别为等腰三角形PAC、PBD  D底边上的高，所以PO与AC、BD都垂直，从而  OPO与平面垂直于AB、AD都在内，所以POA垂直于AB、AD  5．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC  CB于M，GC垂直于ABCD所在平面．求证：EF⊥平面GMC．  若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．  分析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题．解：连结BD交AC于O。  G∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，∴EF⊥AC．  D   CBEMA∵AC∩GC＝C，F∴EF⊥平面GMC．  可证BD∥平面EFG，例题2，正方形中心O到平面EFG  6．求证：空间四边形的四个内角不可能全是直角证明：假设空间四边形ABCD的四个内角都是直角ADDEA,DDCBC,DCBC,DE过D作DE//AB，则AC设DE,DC确定的平面为，则AD,BC,  D∴AD//BC，∴AD,BC共面，此与ABCD是空间  BE四边形矛盾∴空间四边形的四个内角不可能全是直角四、小结：我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义．定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法．直线与平面垂直的性质定理，应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题五、课后作业：  1．已知矩形ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：  C'DEFBCA点C′到平面ABED的距离；C′到边AB的距离；C′到AD的距离．参考答案：  作FH⊥AB于H，作FG⊥AD于G。  则C′H⊥AB，CGAD,可算得BE=42cm，HB=2cm， ∴C到平面ABED的距离为CF22cm⑵C到平面AB的距离为CH23cm⑶C到平面AD的距离为CG26cm2．如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．求证：BE不可能垂直于平面SCD．  参考答案：用到反证法，假设BE⊥平面SCD。  ∵AB∥CD；∴AB⊥BE．  S∴AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．∴BE不可能垂直于平面SCDEDBCA  点C′到平面ABED的距离；C′到边AB的距离；C′到AD的距离．参考答案：  作FH⊥AB于H，作FG⊥AD于G。  则C′H⊥AB，CGAD,可算得BE=42cm，HB=2cm，∴C到平面ABED的距离为CF22cm⑵C到平面AB的距离为CH23cm⑶C到平面AD的距离为CG26cm2．如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．求证：BE不可能垂直于平面SCD．  参考答案：用到反证法，假设BE⊥平面SCD。  ∵AB∥CD；∴AB⊥BE．  S∴AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．∴BE不可能垂直于平面SCDEDBCA