高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 课后导练含解析

课后导练基础达标1若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（）①a⊥α,b∥αa⊥b②a⊥α,a⊥bb∥α③a∥α,a⊥bb⊥α④a⊥α,b⊥αa∥bA.1B.2C.3D.4解析：①正确，过b作平面β∩α=b′，∵b∥α,∴b∥b′.又∵a⊥α,b′α,∴a⊥b′,∴a⊥b;②错，b有可能在α内；③b与α关系有四种，bα,b∥α,b⊥α或b与α斜交；④正确.答案：B2下列说法中正确的是（）①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直A.①②③B.①②③④C.②③D.②③④解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内的所有直线都与该直线垂直.答案：A3设a、b是异面直线，下列命题中正确的是（）A.过不在a、b上的一点P一定可作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可作一个平面与b垂直D.过a一定可作一个平面与b平行解析：A项错，当点P在过a与b平行的平面内时不能作；B项错，若a⊥α,b⊥α,则a∥b与a、b异面矛盾；C项错，若有平面α，使得aα,b⊥α,则a⊥b，但条件中的a，b不一定是垂直的；D项正确，过a上取一点A，作b′∥b,则a与b′确定的平面与b平行.答案：D4如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连结PB、PC，过A作AD⊥BC于点D，连结PD，那么图中直角三角形的个数是（）A.4B.6C.7D.8解析：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，又AD⊥BC，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD.∴直角三角形有：△PAB，△PAC，△PAD，△BAC，△ADB，△ADC，△PDB，△PDC.答案：D5设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是……（）①若m⊥α,n∥α，则m⊥n②若α∥β,β∥γ,m⊥α，则m⊥γ③若m∥α,n∥α，则m∥n ④若α⊥γ,β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④解析：①正确（前面已证）；②正确，∵m⊥α，又α∥β,∴m⊥β.又β∥γ,∴m⊥γ.③错，m与n可平行，可相交也可异面；④错，比如教室的墙角.答案：A6对于四面体ABCD,给出下列四个命题:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.其中真命题的序号是___________________.(写出所有真命题的序号)解析：①正确，取BC中点O，∵AB=AC，∴AO⊥BC，又∵BD=DC，∴DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD.④正确，过A作AH⊥面BCD，∴AH⊥CD.又∵CD⊥AB，∴CD⊥面ABH，∴CD⊥BH，同理可证CH⊥BD，∴H为△BCD的垂心，连DH，则DH⊥BC.又AH⊥BC，∴BC⊥面ADH.∴BC⊥AD.答案：①④7直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内,使a∥b成立的条件是____________.(只填序号即可)①a和b垂直于正方体的同一个面②a和b在正方体两个相对的面内,且共面③a和b平行于同一条棱④a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直解析：由线面垂直的性质知①正确；由公理4知，③正确；由面面平行的性质知②正确；④错误.答案：①②③8m、n是空间两条相交直线，l1、l2是与m、n都垂直的两条直线，直线l与l1、l2都相交，则直线l与l1、l2所成的角的大小关系是___________________.解析：设m、n确定平面为α，由条件知l1⊥α,l2⊥α,∴l1∥l2,由线线成角定义知，l与l1，l2所成的角相等.答案：相等综合运用11与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有（）A.1个于B.5个C.6个D.7个 解析：每一个顶点到其余三点所确定的平面的垂线段是唯一的，过中点的垂直平面是唯一的，这个平面就是满足条件的平面，共有四个.每两条对边都是异面直线，公垂线段是唯一的，过公垂线段的中点的垂面也是唯一的，这个平面就是满足条件的平面，共有三个，所以与空间四边形ABCD四个顶点相等的平面共有七个.答案：D10五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形序号___________.解析：①④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM=AP=AN，因此，三棱锥A-PMN是正三棱锥，所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法，还可否定③.∵AM≠AP≠AN,也易否定②，∴应填①④⑤.答案：①④⑤11如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证:AM∥平面BDE;（2）求证：AM⊥平面BDF.证明：(1)如图，设AC∩BD=O，连结OE.∵O,M分别是AC,EF的中点,ACEF是矩形,∴四边形AOEM是平行四边形. ∴AM∥OE.∵OE平面BDE,AM平面BDE,∴AM∥平面BDE.（2）如图，∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，∴BD⊥平面AE.又∵AM平面AE，∴BD⊥AM.∵AD=，AF=1，OA=1，∴AOMF是正方形.∴AM⊥OF.又AM⊥BD，且OF∩BD=O，∴AM⊥平面BDF.拓展探究12已知：直线m,n和平面α、β,求证：（1）若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.(2)若m⊥α，n⊥β，m与n不平行，则α与β相交.（3）若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.证明：（1）∵m⊥α，又m∥n，∴n⊥α.又n⊥β，由线面垂直的性质知α∥β.（2）假设α与β不相交，则α∥β,∵m⊥α，∴m⊥β.又n⊥β，由线面垂直的性质知m∥n，这与m、n不平行矛盾，故α与β必相交.（3）①当m与n相交时，由（2）知，此时α与β必相交，设m∩n=O，α∩β=l（如图）.设m⊥α于点A，n⊥β于点B，m与n确定的平面为γ，设γ∩l=C，则四边形OACB为平面四边形.∵m⊥α，n⊥β，∴OA⊥AC，OA⊥l，OB⊥BC，OB⊥l.∴l⊥面OACB，∴AC⊥l，BC⊥l，∴∠AOB为α-l-β的平面角.在平面四边形OACB中，∠OAC=∠OBC=∠AOB=90°.∴∠ACB=90°，∴α⊥β.②当m与n异面时，在空间取一点O，过O作m′∥m，n′∥n，则m′⊥α，n′⊥β ，同理①可证α⊥β.综上知α⊥β.