高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 学案

2.3.3～2.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质问题导学一、线面垂直性质的应用活动与探究1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．迁移与应用1．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为(  )①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．A．1B．2C．3D．02．已知α∩β＝l，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B，a⊂α，a⊥AB．求证：a∥l．线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方法，在有线面垂直的条件下，要得平行线，可先考虑线面垂直的性质．二、面面垂直的性质的应用活动与探究2如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．若G为AD的中点，求证：(1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB．迁移与应用如图，已知V是△ABC外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC．求证：AC⊥AB．面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．三、线线、线面、面面垂直的综合应用活动与探究3如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．迁移与应用如图，平面PAC⊥平面ABC，试作出二面角P－AB－C的平面角．线面垂直的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，在解答垂直关系问题时要注意已知垂直条件，特别是线面垂直与面面垂直性质的应用．当堂检测1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(  )A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能2．下列说法中不正确的是(  )A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边B．同一个平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3．平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有(  )A．l∥βB．l⊂βC．l与β相交D．以上三种情况都有可能4．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长度． 5．如图所示，三棱锥S－ABC中，平面SBC⊥底面ABC，且SA＝SB＝SC，试判断△ABC的形状．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．平行 a⊥α，b⊥α⇒a∥b预习交流1 (1)提示：如图，过直线l作两个平面，分别与两个平面α，β相交于a，a′，b，b′，∵l⊥α，∴l⊥a，l⊥b．∵l⊥β，∴l⊥a′，l⊥b′．∴a∥a′，b∥b′．又a与b相交，a′与b′相交，∴α∥β．∴垂直于同一条直线的两个平面平行．(2)提示：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．2．垂直于交线 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l预习交流2 (1)提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则 a⊥α，∴a∥l．∴l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．(2)提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：对于(1)要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC．对于(2)可利用平行的传递性加以证明．证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D．又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1．(2)如图，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．∴ONCDAB．∴ON∥AM．又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．∵ON＝AB，∴AM＝AB．∴M是AB的中点．迁移与应用 1．B2．证明：EA⊥α，EB⊥β, α∩β＝l⇒⇒l⊥平面EAB．又∵a⊂α，EA⊥α，∴a⊥EA．又∵a⊥AB，∴a⊥平面EAB．∴a∥l．活动与探究2 思路分析：(1)可利用面面垂直的性质定理去证明；(2)可通过垂直关系来转化．证明：(1)连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形． 又G为AD的中点，∴BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，∴BG⊥平面PAD．(2)∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．由(1)知BG⊥AD，又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG．∴AD⊥PB．迁移与应用 证明：在平面VAB内，过点B作BD⊥VA于D．∵平面VAB⊥平面VAC，且交线为VA，∴BD⊥平面VAC．∴BD⊥AC．∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC．∵BD∩VB＝B，且VB⊂平面VBA，BD⊂平面VBA，∴AC⊥平面VBA，∴AC⊥AB．活动与探究3 思路分析：根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l与其平行即可．解：已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．求证：l⊥γ．证明：方法一：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β．∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB．又PA∩PB＝P，且PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ． 方法二：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ．∴m∥n．又n⊂β，∴m∥β．又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l．∴l⊥γ．迁移与应用 解：如图，在平面PAC内，过点P作PO⊥AC于O，在平面ABC内，过O作OD⊥AB于D，连接PD．则∠PDO就是二面角P－AB－C的平面角，证明如下：∵PO⊥平面ABC，∴AB⊥PO．又∵OD⊥AB，∴AB⊥平面PDO，∴AB⊥PD．∴∠PDO满足二面角的平面角的定义，即是二面角P－AB－C的平面角．【当堂检测】1．D 2．D 3．D4．解：∵AC⊥l，AC＝3cm，AB＝4cm，∴BC＝5cm．∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD⊂β，∴BD⊥α．又BC⊂α，∴BD⊥BC．在Rt△BDC中，DC＝＝13cm．5．解：如下图所示，取BC的中点O，∵SB＝SC，∴SO⊥BC．∵平面SBC⊥底面ABC，∴SO⊥平面ABC．∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC．∴∠A＝90°．∴△ABC为直角三角形．