高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 教案

2.3.3直线与平面垂直的性质整体设计三维目标1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力.重点难点直线与平面垂直的性质定理及其应用.课时安排1课时教学过程复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a⊥α.a由直线与平面垂直的定义不难得出：b⊥a.b导入新课思路1.(情境导入)大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？图2推进新课新知探究提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系.④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理. ⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？图4图5棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间互相平行.④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.a直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥a.b直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.应用示例思路1例1证明垂直于同一个平面的两条直线平行.解:已知a⊥α,b⊥α.求证：a∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O∈b′,a∥b′.直线b′与直线b确定平面β，设α∩β=c,则O∈c.∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,a∥b′显然不可能，因此b∥a.例2如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB.求证:a∥l. 图7EA,EBlEA证明：l⊥平面EAB.llEB又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.∴a∥l.思路2例1如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，aα.求证：a∥α.图8证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设α∩β=a′,∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,∴b′⊥α.又∵a′α,∴b′⊥a′.由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.例2如图9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.图91证明：(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE=CD.21又∵AM∥CD,AM=CD,2∴AMNE.∴四边形AMNE为平行四边形.∴MN∥AE. PA平面ABCDCDPACD平面ADP∵CD平面ABCDCDADCD⊥AE.AE平面ADP(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,则AE⊥PD.又MN∥AE,∴MN⊥PD,PD∩CD=D.∴MN⊥平面PCD.变式训练已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α.证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，∴△POA≌△POB≌△POC.∴PA=PB=PC.取AB的中点D,连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB.∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.∵PO平面POD,∴PO⊥AB.同理,可证PO⊥BC.∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，∴l⊥α.知能训练如图10，已知正方体ABCD—ABCD的棱长为a,1111（1）求证：BD⊥平面BAC;11（2）求B到平面BAC的距离.1图10（1）证明：∵AB⊥BC，BC⊥BC,∴BC⊥面ABCD.111111又BD面ABCD,∴BC⊥BD.11111∵BB⊥AC，BD⊥AC,1∴AC⊥面BBDD.又BD面BBDD,∴AC⊥BD.111111∴BD⊥平面BAC.11（2）解:∵O∈BD,∴连接OB交BD于E.11又O∈AC，∴OB面BAC.11∴BE⊥OE，且BE即为所求距离.BEBDBD2a23∵,∴BE=·OB=•aa.OBBDBD3a2311 拓展提升已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB到α的距离为10cm，求梯形对角线的交点O到α的距离.图11解：如图所示，过B作BE⊥α交α于点E，连接DE,过O作OF⊥DE交DE于点F,∵AB∥CD，ABα，CDα，∴AB∥α.又BE⊥α,∴BE即为AB到α的距离，BE=10cm且∠BED=90°.OFOD∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得.BEBD∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.ODCD6OD63∴，得.OBAB4BD105OFOD又，BE=10cm,BEBD3∴OF=×10=6（cm）.5∵OF∥BE，BE⊥α.∴OF⊥α，即OF即为所求距离为6cm.课堂小结知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.作业课本习题2.3B组1、2.