高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 课件

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质 目标定位重点难点1.理解且能证明直线与平面垂直、面面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直、平面与平面垂直的性质定理证明相关问题.重点：掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理．难点：能运用性质定理解决一些简单的问题. 1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线________．(2)图形语言：平行 2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则___________垂直于_____的直线与另一个平面________．(2)图形语言：a⊥αb⊥α一个平面内交线垂直 α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l线面 1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.()(2)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.()(3)平面α∩平面β＝l，若a⊂平面α且a⊥l，则a⊥平面β.()【答案】(1)√(2)×(3)× 2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)(1)平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于O，A1C1与B1D1相交于O1，则OO1与平面A1B1C1D1的位置关系是________．【答案】(1)平行(2)垂直 3．思一思：设a，b分别在长方体ABCD－A′B′C′D′两个不同的面内，欲使a∥b，问a，b应满足什么条件？【解析】a，b满足下面条件中的任何一个都能使a∥b：(1)a，b同垂直于长方体的一个面．(2)a，b分别在长方体两个相对的面内且共面．(3)a，b平行于同一条棱． 【例1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.直线与平面垂直的性质定理的应用 【解题探究】要证线线平行，根据条件“MN⊥平面A1DC”，可联想到线面垂直的性质定理，故只需证AD1⊥平面A1DC即可.【证明】∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1. 8证明线线平行常有如下方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用平行公理：平行于同一直线的两条直线平行．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． 1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 【证明】因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理，l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.所以a∥l. 【例2】如图，四棱锥V－ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.平面与平面垂直的性质定理的应用 【解题探究】灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化．【证明】∵平面VAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面VAB.∵VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA.又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA.又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC.∵VA⊂平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC. 8(1)证明或判定线面垂直的常用方法有：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；④若a⊥α，α∥β则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线． 2．如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC，求证：△ABC是直角三角形. 【证明】过B作BD⊥VA于D,∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC.∴BD⊥AC.∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC.∴AC⊥平面VAB.∴AC⊥BA.即△ABC是直角三角形． 【例3】如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．线线、线面、面面垂直的综合应用 【解题探究】(1)借助于平面PAC的垂线，转化为线线垂直证明；(2)借助于AB⊥平面PAC进行证明．【证明】(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC. (2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形． 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线． 3．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)平面BEF⊥平面PCD． 【证明】(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥底面ABCD．(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．又∵AB⊥AD，∴BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∴CD⊥PD．∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF.∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD． 【示例】如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由．考虑问题不全面，导致证明过程不严谨 【错解】平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO.∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，∴EO⊥平面ABCD.∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA.∵E是PC的中点，∴O是AC的中点． ∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO.∵AO＝OC，∴AB＝CD.这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD.【错因】错误的原因是默认了A，O，C三点共线，而A，O，C三点若不共线，则△ABO∽△CDO不成立．事实上，很容易证A，O，C三点共线，由于A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，故P，E，C三点的投影均在直线AC上，故A，O，C三点共线，补上这一点证明就完整了. 【正解】平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO.∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，∴EO⊥平面ABCD.∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA.∵A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，∴P，E，C三点的投影均在直线AC上． ∴A，O，C三点共线．∵E是PC的中点，∴O是AC的中点．∵AB∥CD.∴△ABO∽△CDO.∵AO＝OC，∴AB＝CD.这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD. 【警示】在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束性，另一方面又为证明指出了方向．在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性． 1．对直线与平面垂直的性质定理的三点说明(1)性质定理的前提是直线与平面垂直．(2)性质定理的实质是平行与垂直的转化．(3)性质定理的作用是证明线线平行．2．直线与平面垂直的另两条性质(1)l⊥α，l⊥β，则α∥β.(2)a∥b，a⊥α，则b⊥α. 3．对平面与平面垂直的性质定理的三点说明(1)性质定理成立的三个条件①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直．(2)性质定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．(3)条件中含有面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直． 1．(2019年青海西宁模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 【答案】B【解析】对于A，两平面可能平行也可能相交；对于C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交． 2．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则()A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC【答案】B【解析】因为AD＝DB，PA＝PB，所以PD⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以PD⊥平面ABC. 3．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．相交【答案】C【解析】在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C． 4．如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.【证明】∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.