2.3.3直线与平面垂直的性质
自学导引(学生用书P52)
1.了解垂线段､斜线段及直线和平面所成的角的概念,会进行直线和平面所成的角的计算.2.经过观察探索和转化的办法理解直线与平面的性质定理.3.会运用判定定理和性质定理解题.
课前热身(学生用书P52)
1.过一点和已知平面垂直的直线______________________.2.过一点和一条直线垂直的平面______________________.3.垂直于同一平面的两条直线________.4.垂直于同一直线的两个平面相互平行.有且只有一条有且只有一个相互平行
名师讲解(学生用书P52)
1.直线垂直平面的性质(数学符号表示)2.证明两条直线平行的方法(数学符号表示).
(3)
典例剖析(学生用书P52)
题型一线线平行问题例1:已知:a⊥α,b⊥α.求证:a∥b.分析:已知条件涉及利用垂直证明两线平行问题,需将两条直线转化到同一平面上,直接证明比较困难,可考虑先作出符合要求的图形.
证明:如右图,设b∩α=O,过O作b′∥a.∵a∥b′,a⊥α.∴b′⊥α.又b⊥α,这样过点O有两条直线b､b′与α垂直,则必有b､b′重合.因此b∥a.
规律技巧:本例若采用直接法证明两直线平行较为困难,故先作出符合要求的图形,然后证明所作图形与已知图形重合,这种证明方法称为同一法.这是直线与平面垂直的性质定理.
变式训练1:已知直线l､m,平面α､β,l⊥α,m⊥β,α∥β,则直线l与m的位置关系式是()A.相交B.异面C.平行D.不确定解析:l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又m⊥β,∴l∥m.答案:C
题型二线线垂直问题例2:如下图,在四面体ABCD中,若AB⊥CD,AD⊥BC,求证:AC⊥BD.分析:要证线线垂直,可先证线面垂直,进而由线面垂直的定义(或性质)得出线线垂直.
证明:过A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则AO⊥CD.∵AB⊥CD,AO∩AB=A,∴CD⊥平面ABO.∵BO平面ABO,∴CD⊥BO.同理BC⊥DO.则O为△BCD的垂心,∴CO⊥BD.
∵AO⊥BD,CO∩AO=O,∴BD⊥平面ACO.又∵AC平面ACO,∴AC⊥BD.
规律技巧:从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用.
变式训练2:如右图,P为△ABC所在平面外的一点,且PA､PB､PC两两垂直,求证:PA⊥BC.
证明:∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,∴PA⊥平面PBC.∵BC平面PBC,∴PA⊥BC.
题型三线面垂直的综合应用例3:如下图,∠BOC在平面α内,OA是α的斜线,若∠AOB=∠AOC=60°,,求OA和平面α所成的角.
△ABC为直角三角形.同理△BOC也为直角三角形.过点A作AH垂直平面α于H,连结OH,
AO=AB=ACOH=BH=CH
规律技巧:在立体几何中存在许多平面图形,在证题时充分运用平面几何知识是解决立体几何问题的重要途径.
变式训练3:AB和平面M所成的角是α,AC在平面M内,AC与AB在平面M内的射影AB1所成的角是β,设∠BAC=θ,求证α､β､θ满足关系式cosθ=cosα·cosβ.
证明:如右图,在AB和AC确定的平面内作BD⊥AC,D为垂足,连结B1D.∵BB1⊥平面M,AC平面M,∴BB1⊥AC.∵BB1∩BD=B∴AC⊥平面BB1D,AC⊥B1D.在Rt△ADB中,cosθ=AD:AB.在Rt△ABB1中,cosα=AB1:AB.在Rt△ADB1中,cosβ=AD:AB1.
∴cosα·cosβ即cosθ=cosα·cosβ.
易错探究
例4:(2009·四川高考题)如图,已知六棱锥P——ABCDEF的底是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°
错解:∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA,又BC⊥AB,且PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,又BC在平面PBC内,∴平面PAB⊥平面PBC.故选B.错因分析:正六边形的性质应用失误,导致空间线面位置关系判断错误.
正解:∵PA⊥底面ABC,∴PB在底面上的射影为AB,AB与AD不垂直,排除选项A.由正六边形的性质知BC不垂直AB,∴BC不垂直平面PAB,而BD⊥平面PAB,但BD不在平面PBC内.故排除选项B.对于选项C,∵BD∥AE,BD∥平面PAE,∴BC与平面PAC不平行,排除C.对于D选项,∠PDA为直线PD与平面ABC所成的角,计算知PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°.答案:D
技能演练(学生用书P53)
基础强化1.如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内()A.不存在与l垂直的直线B.存在一条与l垂直的直线C.存在无数条与l垂直的直线D.任意一条都与l垂直答案:C
2.对于直线m､n和平面α､β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,nαC.m∥n,n⊥β,mαD.m∥n,m⊥α,n⊥β.答案:C
3.已知平面α∩平面β=AB,直线a,b是异面直线,且a⊥α,b⊥β,MN为a,b的公垂线,则MN与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.平行､重合均可能D.平行､相交均可能
解析:借助正方体来判定.如图所示.在图(1)中,MN∥AB,在图(2)中,MN与AB重合,故选C.答案:C
4.设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,下列命题中正确的个数是()①若l⊥α,则l与α相交;②若mα,nα,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n.A.1B.2C.3D.423解析:①､③､④正确,②不正确.因此选C.答案:C
5.圆O的半径为4,PO垂直圆O所在的平面,且PO=3,那么点P到圆上各点的距离是________.解析:依题意知,P到圆O上各点的距离都相等,由勾股定理算得其值为5.5
6.已知直线a､b､c和平面α､β,给出下列命题:①a､b与α成等角,则a∥b②若α∥β,c⊥α,则c⊥β③若a⊥b,a⊥α,则b∥α④若α⊥β,a∥α,则a⊥β其中错误命题的序号是________.①③④
7.二面角α-l-β的大小为120°,直线ABα,直线CDβ.且AB⊥l,CD⊥l,则AB与CD所成角的大小为________.解析:由两条直线所成角通常是指两直线的夹角,因此应答60°(当AB､CD为异面直线时)而不是120°.60°
8.如图,ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE=________.
解析:由AF⊥平面ABCD知,DE⊥面ABCD,∴DE⊥CD,在Rt△CDE中,答案:
能力提升
9.如下图,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E､F､G分别为CD､DA和AC的中点.求证:平面BEF⊥平面BGD.
证明:如右图∵AB=BC,G为AC的中点,∴BG⊥AC,同理,DG⊥AC,又DG∩BG=G,∴AC⊥平面BGD.又E､F分别为CD,DA的中点,∴EF∥AC.∴EF⊥平面BGD又EF平面BEF.∴平面BEF⊥平面BGD.
10.PA⊥矩形ABCD所在平面,M\,N分别是AB\,PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD.(2)求证:MN⊥CD.(3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PDC.
解:如右图,(1)取PD中点Q,连结NQ､AQ.∵N､Q分别为PC､PD的中点.∴NQAM.∴AMNQ为平行四边形.∴AQ∥MN.又AQ平面PAD,MN平面PAD,∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.又AD⊥AB,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥AQ,即AB⊥MN.又CD∥AB,∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.又∠PDA=45°,Q为PD的中点,∴AQ⊥PD.∴MN⊥PD.又MN⊥CD,且PD∩CD=D,∴MN⊥平面PCD.
品味高考(学生用书P54)
11.(2008·安徽)已知m,n是两条不同直线,α､β､γ是三个不同平面,下列命题中正确的是()A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m∥α,n∥α,则m∥nD.若m∥α,m∥β,则α∥β答案:B
12.(2009·浙江)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是()A.若l⊥α,α⊥β,则lβB.若l∥α,α∥β,则lβC.若l⊥α,α∥β则l⊥βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β答案:C
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