2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α.∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．故选D.答案：D2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：∵b∥α，∴b平行于α内的某一条直线，设为b′，∵a⊥α，且b′⊂α，∴a⊥b′，∴a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面．答案：C3．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是( )A．平行 B．异面C．相交D．垂直解析：因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.答案：A4．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )-8-
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：A项中缺少了条件l⊂α，故A错误．B项中缺少了条件α⊥β，故B错误．C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误．D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确．答案：D5．PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于( )A．5B．5C．5D．20解析：∵PA＝PB＝PC，∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心．又△ABC为直角三角形，∴O为斜边BA的中点．在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴PO＝＝5.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以AC⊥BD.答案：菱形7．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．解析：由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD，平面-8-
PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.答案：58．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.解析：在三棱锥P－ABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以＝1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.-8-
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，所以ON∥CD∥AB.所以ON∥AM.又由(1)知MN∥OA，所以四边形AMNO为平行四边形．所以ON＝AM.因为ON＝AB，所以AM＝AB.所以M是AB的中点．10.如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，因为G是AD的中点，所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD.所以BG⊥平面PAD.-8-
(2)连接PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，而PG∩BG＝G，PG⊂平面PBG，BG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.[能力提升](20分钟，40分)11．[2019·南昌月考]如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：在四面体ABCD中，∵AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，又平面ABC∩平面ABD＝直线AB，故点D在平面ABC上的射影H必在直线AB上．答案：A12．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，-8-
P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是__________________．解析：因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC.所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A，B两点)．答案：以AB为直径的圆(除去A，B两点)13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.-8-
14．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝4，D，E分别是AB，BC边的中点，沿DE将△BDE折起至△FDE，且∠CEF＝60°.(1)求四棱锥F－ACED的体积；(2)求证：平面ADF⊥平面ACF.解析：(1)∵D，E分别是AB，BC边的中点，∴DE∥AC且DE＝AC＝1，又AC⊥BC，∴DE⊥BC.依题意得，DE⊥EF，BE＝EF＝2.于是⇒DE⊥平面CEF.∵DE⊂平面ACED，∴平面ACED⊥平面CEF.过F点作FM⊥EC于M，则⇒FM⊥平面ACED，又∵∠CEF＝60°，CE＝EF，∴△CEF为正三角形，∴FM＝，∴梯形ACED的面积S＝(AC＋ED)×EC＝×(2＋1)×2＝3，∴四棱锥F－ACED的体积V＝Sh＝×3×＝.(2)证法一 如图，设线段AF，CF的中点分别为N，Q，连接DN，NQ，EQ，则NQ∥AC，NQ＝AC，又由(1)知DE∥AC且DE＝AC，∴DE綊NQ，∴四边形DEQN是平行四边形，∴DN∥EQ.由(1)知△CEF是等边三角形，-8-
∴EQ⊥FC.由(1)知DE⊥平面CEF，又EQ⊂平面CEF，∴DE⊥EQ，∴AC⊥EQ.于是⇒EQ⊥平面ACF.∴DN⊥平面ACF.又∵DN⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF.证法二 连接BF，由(1)知△CEF是边长为2的等边三角形．∵BE＝EF，∠CEF＝60°，∴∠EBF＝∠CEF＝30°，∴∠BFC＝90°，即BF⊥FC.又∵DE⊥平面BCF，DE∥AC，∴AC⊥平面BCF.∵BF⊂平面BCF，∴AC⊥BF.又∵FC∩AC＝C，∴BF⊥平面ACF.又∵BF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF.-8-
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