高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质 学案

2．3.3 直线与平面垂直性质1．直线与平面垂直的性质定理．正方体ABCDA1B1C1D1中，求证AC⊥平面BB1D1D.证明：由正方体的性质可知AC⊥BD，BB1⊥平面AC，所以BB1⊥AC，因为BD与BB1相交，所以AC⊥平面BB1D1D.2．平面与平面垂直的性质定理．直线与平面不垂直，那么该直线与平面内的所有直线都不垂直对吗？答案：错 ►思考应用1．垂直于同一平面的两平面平行吗？解析：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？解析：不一定．只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面．               1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有(D)A．b∥α B．b⊂α C．b⊥α D．b∥α或b⊂α2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(D)A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内3．若直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m ②α⊥β⇒l∥m ③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的命题的序号是(D)A．①②B．③④C．②④D．①③4．如图，▱ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝．解析：∵AF∥ED，AF⊥平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD.∴ED⊥DC.在Rt△EDC中，ED＝2，CD＝3，∴CE＝＝. 1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(C)A．相交B．异面C．平行D．不确定解析：⇒l⊥a，⇒m⊥a.由线面垂直的性质定理得m∥l，故选C.2．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，下列结论中不正确的是(C)A．PB⊥BC    B．PD⊥CDC．PO⊥BD    D．PA⊥BD3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是(D)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．4．平面α⊥平面β，直线a∥α，则a与β的位置关系为__________．答案：a∥β或a⊂β或a与β相交5．圆O的半径为4，PO垂直圆O所在的平面，且PO＝3，那么点P到圆上各点的距离是________．答案：56．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长． 解析：连接AD，在Rt△ABD中，BD＝12，AB＝4，∴AD＝＝4(cm)．∵AC⊥l，AC⊂面α，α⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥Β.又AD⊂β，∴CA⊥AD.在Rt△ADC中，AC＝3，AD＝4，∴CD＝＝＝13(cm)．7．已知，△ABC所在平面外一点V，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC.求证：AC⊥BA.证明：过B作BD⊥VA于D，∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC，∴BD⊥AC，又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC，又∵BD∩VB＝B，∴AC⊥平面VBA，∴AC⊥BA.8．如下图(左)所示，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起， 得到如下图(右)所示的三棱锥ABCF，其中BC＝.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF.(3)当AD＝时，求三棱锥FDEG的体积VF－DEG.解析：(1)在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴＝，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，∴DE∥BC.又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF，①且BF＝CF＝.∵在三棱锥ABCF中，BC＝，∴BC2＝BF2＋CF2.∴CF⊥BF.②∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知，GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴VFDEG＝VEDFG＝××DG×FG×GE＝××××＝. 1．(1)直线与平面垂直的性质：①定义：若a⊥α，b⊂α，则a⊥b；②性质定理：a⊥α，b⊥α，则a∥b；③a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平面与平面垂直的性质：①性质定理：α⊥β，α∩β＝l，m⊂β，m⊥l，则m⊥α.②如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．2．直线与平面垂直的性质、面面垂直的性质，结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直、面面垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化．