直线与平面垂直的性质课时作业（附答案）时提升作业(十)直线与平面垂直的性质一、选择题(每小题3分，共18分)1已知直线l1，l2与平面α，有下列说法：①若l1∥α，l1∥l2，则l2∥α；②l1α，l2∩α=A，则l1与l2为异面直线；③若l1⊥α，l2⊥α，则l1∥l2；④若l1⊥l2，l1∥α，则l2∥α其中正确的个数有( )A0个B1个2个D3个【解析】选B①错，因为l2还可能在α内②错，当A∈l1时，l1∩l2=A③对，是线面垂直的性质定理④错，l2与α的位置关系不确定2(2014•松原高一检测)B是Rt△AB的斜边，AP⊥平面AB，PD⊥B于点D，连接AD，则图中共有直角三角形的个数是( )A8B76D【解析】选A因为AP⊥平面AB，B平面AB，所以PA⊥B，又PD⊥B于D，PD∩PA=P，所以B⊥平面PAD，AD平面PAD，所以B⊥
AD又B是Rt△AB的斜边，所以∠BA为直角所以图中的直角三角形有：△AB，△PA，△PAB，△PAD，△PD，△PDB，△AD，△ADB3在空间中，下列说法正确的有( )①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一平面的两条直线互相平行；④两条异面直线不可能垂直于同一平面A1个B2个3个D4个【解析】选B由公理4知①正确，由线面垂直的性质定理知④正确对于②，空间中垂直于同一条直线的两条直线相交、平行、异面都有可能对③中的两条平行于同一个平面的直线，其位置关系不确定4(2013•广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是( )A若l∥α，l∥β，则α∥βB若l⊥α，l⊥β，则α∥β若l⊥α，l∥β，则α∥βD若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】选B对于选项A，两个平面α，β平行于同一条直线，不能确定两平面平行还是相交(若两平面相交能确定与交线平行)；对于选项B，垂直于同一条直线的两个平面平行(直线是公垂线)；对于选项，能推出两个平面相交且两个平面垂直；对于选项D，l∥β，l⊥β，lβ都可能如图，已知△AB为直角三角形，其中∠
AB=90°，为AB的中点，P垂直于△AB所在平面，那么( )APA=PB>PBPA=PBPG>PFBPG>PF>PEPE>PF>PGDPF>PE>PG【解析】选在Rt△PFE中，PE>PF；在Rt△PFG中，PF>PG，所以PE>PF>PG6(2014•吉安高二检测)如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，D⊥α垂足分别为B，D，如果增加一个条，就能推出BD⊥EF，这个条不可能是下面四个选项中的( )AA⊥βBA⊥
EFA与BD在β内的射影在同一条直线上DA与α，β所成的角相等【解析】选D对于A若A⊥β，EFβ，则A⊥EF又AB⊥α，EFα，则AB⊥EF，AB⊥α，D⊥α，所以AB∥D，故ABD确定一个平面，又A∩AB=A，所以EF⊥平面ABD，BD平面ABD，所以EF⊥BD同理B也能推出BD⊥EF对于选项由于A与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABD与平面β垂直，又因为EF⊥AB，所以EF⊥平面ABD，所以EF⊥BD对于D，若A∥EF，则A与α，β所成的角也相等，但不能推出BD⊥EF二、填空题(每小题4分，共12分)7(2014•无锡高二检测)已知直线平面α，直线n平面α，∩n=，直线a⊥，a⊥n，直线b⊥，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________【解析】因为直线a⊥，a⊥n，直线平面α，直线n平面α，∩n=，所以a⊥α同理可证直线b⊥α，所以a∥b答案：a∥b8若三个平面两两垂直，它们交于一点A，空间一点1到三个平面的距离分别为，6，7，则A1的长为________【解析】如图构造长方体，可知长方体的长、宽、高分别为7，6，，A1为体对角线，所以A1==答案：
9AB是☉的直径，点是☉上的动点(点不与A，B重合)，过动点的直线V垂直于☉所在的平面，D，E分别是VA，V的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号)(1)直线DE∥平面AB(2)直线DE⊥平面VB(3)DE⊥VB(4)DE⊥AB【解析】因为AB是☉的直径，点是☉上的动点(点不与A，B重合)，所以A⊥B，因为V垂直于☉所在的平面，所以A⊥V，又B∩V=，所以A⊥平面VB因为D，E分别是VA，V的中点，所以DE∥A，又DE⊈平面AB，A平面AB，所以DE∥平面AB，DE⊥平面VB，DE⊥VB，DE与AB所成的角为∠BA是锐角，故DE⊥
AB不成立由以上分析可知(1)(2)(3)正确答案：(1)(2)(3)三、解答题(每小题10分，共20分)10(2014•开封高一检测)如图，三棱柱AB-A1B11中，A=B，AB=AA1，∠BAA1=60°(1)求证：AB⊥A1(2)若AB=B=2，A1=，求三棱柱AB-A1B11的体积【解析】(1)如图，取AB的中点，连接，A1，A1B因为A=B，所以⊥AB由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B为等边三角形，所以A1⊥AB因为∩A1=，所以AB⊥平面A1又A1平面A1，故AB⊥A1(2)由题设知△AB与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以=A1=又A1=，则A12=2+，故A1⊥因为∩AB=，所以A1⊥平面AB，所以A1为三棱柱AB-A1B11的高又△AB的面积S△AB=，故三棱柱AB-A1B11的体积V=S△AB×A1=×=311如图，直三棱柱AB-A1B11中，A=B=1，∠AB=90°，AA1=，D是A1B1的中点(1)求证：1D⊥平面A1B(2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥
平面1DF？并证明你的结论【解析】(1)因为AB-A1B11是直三棱柱，所以A11=B11=1，且∠A11B1=90°又D是A1B1的中点，所以1D⊥A1B1因为AA1⊥平面A1B11，1D平面A1B11，所以AA1⊥1D，又AA1∩A1B1=A1，所以1D⊥平面A1B(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接1F，则AB1⊥平面1DF，点F即为所求证明：因为1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，所以1D⊥AB1又AB1⊥DF，DF∩1D=D，所以AB1⊥平面1DF【变式训练】如图所示，ABD为正方形，SA⊥平面ABD，过A且垂直于S的平面分别交SB，S，SD于点E，F，G求证：AE⊥SB【证明】因为SA⊥平面ABD，B平面ABD，所以SA⊥B，又因为B⊥AB，SA∩AB=A，所以B⊥平面SAB，又AE平面SAB，所以B⊥AE因为S⊥平面AEFG，所以S⊥AE又B∩S=，所以AE⊥
平面SB，所以AE⊥SB一、选择题(每小题4分，共16分)1已知直线l⊥平面α，直线平面β有下面四个说法：①α∥βl⊥；②α⊥βl∥；③l∥α⊥β；④l⊥α∥β其中正确的说法是( )A①②B①③②④D③④【解析】选Bl⊥α，α∥β，所以l⊥β又因为β，所以l⊥①正确l∥，l⊥α，所以⊥α，又因为β，所以α⊥β，③正确2如图，在Rt△AB中，∠AB=90°，直线l过点A且垂直于平面AB，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PB的大小( )A变大B变小不变D有时变大有时变小【解析】选由于B⊥A，l⊥平面AB，所以B⊥l，即B⊥AP，又因为AP∩A=A，故B⊥平面AP，所以B⊥P，即∠
PB=90°3(2014•蚌埠高一检测)线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为，7，则AB的中点到α的距离为( )A4B6D7【解题指南】利用线面垂直的性质求解【解析】选设AB的中点为，分别过A，，B向α作垂线，垂足分别为A1，1，B1，则由线面垂直的性质知AA1∥1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1=，BB1=7，1为其中位线，所以1==64(2014•洛阳高一检测)P垂直于△AB所在平面α，垂足为，若点P到△AB的三边的距离相等，且点在△AB内部，则点是△AB的( )A重心B垂心外心D内心【解析】选D如图所示，因为P⊥平面AB，所以P⊥AB又因为PD⊥AB，P∩PD=P，所以AB⊥平面PD，所以AB⊥D同理，E⊥B，F⊥A又因为PD=PE=PF，所以D=E=F所以为△AB的内心二、填空题(每小题分，共10分)(2014•合肥高一检测)如图，在正方体ABD-A1B11D1中，，N分别是棱AA1，AB上的点，若∠B1N=90°，则∠1N=________【解析】因为B11⊥平面ABB1A1，所以B11⊥N又∠B1N是直角，所以N⊥B1又B11∩B1=B1，所以N⊥平面B11所以N⊥1，所以∠
1N=90°答案：90°6如图，在正方体ABD-A1B11D1中，点P在侧面B1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为________【解析】如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，连接A，AB1，B1，在正方体ABD-A1B11D1中，有BD1⊥面AB1，又点P在侧面B1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面AB1与面B1B1的交线段B1答案：线段B1【变式训练】在正方体ABD-A1B11D1中，E，F，G，H分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A的中点，是AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则N满足什么条时，有N⊥A11【解析】连接EG，E，G，BD，因为正方形AA1D1D中，E，G分别为AD，A1D1的中点，所以EG∥AA1因为AA1⊥平面A1B11D1，所以EG⊥平面A1B11D1因为A11平面A1B11D1，所以A11⊥EG因为在△ABD中，E是中位线，所以E∥BD因为BB1∥DD1且BB1=DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD所以E∥
B1D1因为正方形A1B11D1中，A11⊥B1D1，所以A11⊥E因为E∩EG=E，E，EG平面EG，所以A11⊥平面EG因此，当点N在EG上时，直线N平面EG，有N⊥A11成立三、解答题(每小题12分，共24分)7(2014•宿迁高二检测)如图，在三棱锥P-AB中，点E，F分别是棱P，A的中点(1)求证：PA∥平面BEF(2)若平面PAB⊥平面AB，PB⊥B，求证：B⊥PA【解题指南】(1)根据三角形中位线的性质，可得EF∥PA，再利用线面平行的判定定理，可证PA∥平面BEF(2)作P⊥AB，垂足为，根据平面PAB⊥平面AB，可得P⊥平面AB，所以P⊥B，利用PB⊥B，可得B⊥平面PAB，从而可得结论【证明】(1)因为点E，F分别是棱P，A的中点，所以EF∥PA，因为PA⊈平面BEF，EF平面BEF，所以PA∥平面BEF(2)作P⊥AB，垂足为，因为平面PAB⊥平面AB，平面PAB∩平面AB=AB，所以P⊥平面AB，所以P⊥B，因为PB⊥B，P∩PB=P，所以B⊥
平面PAB，因为PA平面PAB，所以B⊥PA【变式训练】如图，已知点P为平面AB外一点，PA⊥B，P⊥AB，求证：PB⊥A【证明】过P作P⊥平面AB于，连接A，B，因为B平面AB，所以P⊥B又因为PA⊥B，PA∩P=P，所以B⊥平面PA又因为A平面PA，所以B⊥A同理，可证AB⊥所以是△AB的垂心所以B⊥A又因为P⊥A，B∩P=，所以A⊥平面PB又PB平面PB，所以PB⊥A8(2014•东高考)如图，四棱锥P-ABD中，AP⊥平面PD，AD∥B，AB=B=AD，E，F分别为线段AD，P的中点(1)求证：AP∥平面BEF(2)求证：BE⊥
平面PA【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法，可利用线线平行证明线面平行(2)本题考查了线面垂直的判定，在平面PA中找两条相交直线与BE垂直即可【证明】(1)连接A交BE于点，连接F，不妨设AB=B=1，则AD=2，又因为E为AD的中点，所以AE=1，所以AE=B，因为AB=B，AD∥B，所以四边形ABE为菱形，因为，F分别为A，P的中点，所以F∥AP，又因为F平面BEF，AP⊈平面BEF，所以AP∥平面BEF(2)因为AP⊥平面PD，D平面PD，所以AP⊥D，因为B∥ED，B=ED，所以四边形BDE为平行四边形，所以BE∥D，所以BE⊥PA，又因为四边形ABE为菱形，所以BE⊥A，又因为PA∩A=A，PA，A平面PA，所以BE⊥平面PA【变式训练】在△AB中，∠BA=60°，P是△AB所在平面外一点，PA=PB=P，∠APB=∠AP=90°(1)求证：PB⊥面PA(2)若H是△AB的重心，求证：PH⊥面AB【证明】(1)如图，由题设易得AB=A，因为∠BA=60°，所以△
AB为等边三角形，所以AB=B因为PA=PB=P，所以△PAB≌△PB，所以∠BP=∠APB=90°，即PB⊥P又PB⊥PA，PA∩P=P，所以PB⊥面PA(2)取B中点D，因为PB=P，所以PD⊥B同理可得AD⊥B，所以B⊥面PAD因为AD是△AB的边B上的中线，所以△AB的重心H在AD上，所以B⊥PH，同理可得AB⊥PH又AB∩B=B，所以PH⊥面AB
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