高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 课件

2.3.3直线与平面垂直的性质鹿邑三高史琳 复习回顾1、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定 1.利用判定定理我们证明了一个重要的结论，也请一个同学叙述一下．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．2.请将上述命题用数学符号表示出来.若a∥b，a⊥α，则b⊥α．这个例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理。现在请同学们交换这个定理的题设和结论，写出新的命题．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．下面就让我们看看这个命题是否正确？ 思考如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α那么，直线a,b一定平行吗？ 研探新知:请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形.已知：a⊥α， b⊥α求证：a∥b．分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？答：否定结论→推出矛盾→肯定结论 引导：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1，在这个例题的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线．层层推进，得出证明过程如下:证明：假定b与a不平行设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，∵ a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．所以,经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α。显然这是不可能的．因此，a∥b． 由此，我们得到：直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．指出:判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．· 例题分析,巩固新知:例1：设直线a,b分别在正方体中两个不同的平面内，欲使a//b，a,b应满足什么条件？分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a，b满足的条件。解：a，b满足下面条件中的任何一个，都能使a∥b，（1）a，b同垂直于正方体一个面；（2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面；（3）a，b平行于同一条棱；（4）如图，E，F，G，H分别为B'C’，CC’，AA’，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等。 三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直PAOa PAOa三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直 EABCD 巩固深化、发展思维思考:已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，则直线a与平面α具有什么位置关系？归纳小结:本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及点到平面的距离的定义．定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法. 作业:P73页A组5,6题