第二课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)1．直线与平面垂直的性质定理是什么？略2．直线与平面垂直的性质定理有什么作用？略3．平面与平面垂直的性质定理是什么？略4．平面与平面垂直的性质定理有什么作用？略线面、面面垂直的综合问题[例1] 如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.[解] 证明：过点B作直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ.因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ.因为b⊥β，c⊂β，所以b⊥c.①因为a⊥α，c⊂α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c.②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.[类题通法]判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系．[活学活用] 如图所示：平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB.求证：a⊥β.
证明：如图，∵a∥α，过a作平面γ交α于a′，则a∥a′.∵a⊥AB，∴a′⊥AB.∵α⊥β，α∩β＝AB，∴a′⊥β，∴a⊥β.求点到面的距离[例2] 已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝，又已知S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．[解] 法一：如图所示，连接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形，所以SA⊥AC，BC⊥AC.取AB，AC的中点E，F，连接PF，EF，PE，则EF∥BC，PF∥SA.所以EF⊥AC，PF⊥AC.因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC.易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点，所以PA＝PB.而E是AB的中点，所以PE⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．在Rt△AEP中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，所以PE＝＝＝，即点P到平面ABC的距离为.法二：如图所示，过A作AE∥BC，交SC于点E，过B作BF∥AC，交AE于点D，则四边形ACBD为正方形．连接SD.因为AC⊥SA，AC⊥AD，SA∩AD＝A，所以AC⊥平面SDA.所以AC⊥SD.
又由题意，可知BC⊥SB.因为BC⊥BD，SB∩BD＝B，所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.又BC∩AC＝C，于是SD⊥平面ACBD.所以SD的长为点S到平面ABC的距离．在Rt△SDA中易得SD＝＝＝.因为P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为SD＝.[类题通法]求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．[活学活用] 如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离．解：(1)证明：连接AC，∵正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，故AC⊥平面BDD1B1.∵E，F分别为棱AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，又EF⊂平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)由(1)知平面B1EF⊥平面BDD1B1且交线为B1G，所以作D1H⊥B1G于H，则D1H⊥平面B1EF，即D1H为D1到平面B1EF的距离．
∵B1D1∥BD，∴∠D1B1H＝∠B1GB，∴sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝＝.在△D1B1H中，D1B1＝4，sin∠D1B1H＝，∴D1H＝＝.折叠问题[例3] 如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．(1)如果二面角ADEC是直二面角，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.[解] 证明：(1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点．取BC的中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.又∵N是BC的中点，∴AB＝AC.(2)取BC的中点N，连接AN.∵AB＝AC，∴AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.[类题通法]解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量．一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．
[活学活用]如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥PABFED，且PB＝.(1)求证：BD⊥平面POA；(2)求四棱锥PBFED的体积．解：(1)证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，∴BD∥EF.∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴翻折后EF⊥AO，EF⊥PO，∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO＝O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA.(2)如图，设AO∩BD＝H，连接BO，∵ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝4，BH＝2，HA＝2，HO＝PO＝.在Rt△BHO中，BO＝＝，在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO.∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED，又梯形BFED的面积为S＝(EF＋BD)·HO＝3，∴四棱锥PBFED的体积V＝S·PO＝×3×＝3.[随堂即时演练]
1.如图所示，三棱锥PABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是( )A．一条线段 B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点答案：D2．在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )A．2B．2C．4D．4答案：B3．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3m，4m,1m，则P与墙角B的距离为________m.答案：4.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥AA′BB′的体积V＝________.答案：45．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．解：(1)证明：由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4.又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF.又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥平面CFG，所以平面DEG⊥平面CFG.(2)16[课时达标检测]一、选择题1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是( )A．n∥α B．n∥α或n⊂α
C．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α答案：A2.如图所示，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案：C3．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是( )A．②③B．①③C．②④D．③④答案：D4.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小答案：C5.如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下面结论正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案：C二、填空题6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)7．如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥ABCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是________．答案：平面ABC⊥平面ACD8.如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，则二面角CBDA的平面角的正切值为________．答案：三、解答题9.如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2.(1)证明：AF∥平面BDG；(2)证明：平面BGM⊥平面BFC；(3)求三棱锥FBMC的体积V.解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，因为点G为CF的中点，所以OG为△AFC的中位线，所以OG∥AF.∵AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AF∥平面BDG.(2)证明：连接FM.∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，∴BG⊥CF.∵CM＝2，∴DM＝4.∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形，∴EF∥DM，又EF＝4，∴EFMD为平行四边形，∴FM＝ED＝2，∴△FCM为正三角形，∴MG⊥CF.∵MG∩BG＝G，∴CF⊥平面BGM.∵CF⊂平面BFC，∴平面BGM⊥平面BFC.(3)VFBMC＝VFBMG＋VCBMG＝×S△BMG×FC＝×S△BMG×2，
∵GM＝BG＝，BM＝2，∴S△BMG＝×2×1＝，∴VFBMC＝×S△BMG＝.10.如图，AE是半径为a的半圆，AC为直径，点E为A的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝a.(1)证明：EB⊥FD；(2)求点B到平面FED的距离．解：(1)证明：∵FC⊥平面BED，BE⊂平面BED，∴EB⊥FC.又点E为A的中点，B为直径AC的中点，∴EB⊥BC.又∵FC∩BC＝C，∴EB⊥平面FBD.∵FD⊂平面FBD，∴EB⊥FD.(2)如图，在平面BEC内过C作CH⊥ED，连接FH.则由FC⊥平面BED知，ED⊥平面FCH.∵Rt△DHC∽Rt△DBE，∴＝.在Rt△DBE中，DE＝＝＝a，∴CH＝＝＝a.∵FB＝a，BC＝a，∴FC＝2a.在平面FCH内过C作CK⊥FH，则CK⊥平面FED.∵FH2＝FC2＋CH2＝4a2＋＝a2，∴FH＝a.
∴CK＝＝＝a.∵C是BD的中点，∴B到平面FED的距离为2CK＝a.
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