高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 课件

2018_2019学年高中数学第二章2.3.3_2.3.4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修22.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质目标导航课标要求理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质,,并能运用性质定理解决一些简单问题..素养达成通过直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理的学习,,锻炼了学生的逻辑思维能力、空间想象能力,,促进直观想象、逻辑推理等核心素养的达成..新知探求课堂探究新知探求素养养成点击进入情境导学知识探究1.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线..符号语言图形语言abaa^üÞý^þa∥b平行探究1:(1)垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗??(2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗??(3)过一点有几条直线与已知平面垂直??答案::(1)共面..由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,,故能确定一个平面..(2)不可以..若三角形的两边垂直于同一个平面,,则这两条边平行,,不能构成三角形..(3)有且仅有一条..假设过一点有两条直线与已知平面垂直,,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,,应无公共点,,这与过同一点相矛盾,,故只有一条直线..2.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,,则一个平面内的直线与另一个平面垂直符号语言图形语言laaababba^üïÇ=ïÞ^ýÌïïþal垂直于交线探究2:(1)如果,,则内的直线必垂直于内的无数条直线吗?(2)如果,,过内的任意一点作与交线的垂线,,则这条直线必垂直于吗??答案::(1)正确..若设=l,a=l,a,b,bl,,bl,则ab,故内与bb平行的无数条直线均垂直于内的任意直线..(2)错误..垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直,,否则不垂直..自我检测1.(面面垂直的性质定理))已知直线m,n和平面,,,,若,,=m,nn,,要使要使n,,则应增加的条件是(())(A)m∥n(B)nm(C)n∥(D)nBB2.(线面垂直的性质定理))在正方体ABCD--AA11BB11CC11DD11中,,直线l平面AA11CC11(l与棱不重合),则(())(A)B11Bl(B)B11B∥l(C)B11BB与ll异面(D)B11BB与ll相交BB3.(线面、面面垂直的综合应用))已知m,n是两条不同的直线,,,,是两个不同的平面,,且m∥,n,n,,则下列叙述正确的是则下列叙述正确的是(())(A)若∥,,则m∥n(B)若m∥n,则∥(C)若n,,则m(D)若m,,则4.(面面垂直的性质定理))下列命题中错误的是(())(A)如果平面平面,,那么平面内一定存在直线平行于平面(B)如果平面不垂直于平面,,那么平面内一定不存在直线垂直于平面(C)如果平面平面,,平面平面,,=l,那么l平面(D)如果平面平面,,那么平面内所有直线都垂直于平面DDDD5.(面面垂直的性质定理))已知m,n,l是直线,,,,是平面,,,,=l,nn,nl,m,nl,m,,则直线mm与nn的位置关系是..答案::平行66..((线面、面面垂直的应用))设,,是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线..从①mn;;②;;③n;;④m中选取三个作为条件,,余下一个作为结论,,写出你认为正确的一个命题::((用序号表示))..答案::①③④①③④②②((或②③④或②③④①①)题型一直线与平面垂直的性质定理的应用【例11】(1)已知两条直线m,n,两个平面,,,,给出下面四个命题::①m∥n,mm∥n,mnn;;②∥,m,m,nm∥n;m∥n;③m∥n,m∥m∥n,m∥n∥;;④∥,m∥n,m,m∥n,mnn..其中正确命题的序号是(())(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③课堂探究素养提升(1)解析::由线面垂直的性质定理可知①正确;;对于②,,当∥,m∥,m,n,n时,m与nn可能平行也可能异面,,故②不正确;;对于③,,当m∥n,m∥时,,n∥或或nn,,故③不正确;;对于④,,由m∥n,m,得n,又∥,所以n,故④正确..故选C.(2)如图所示,,在正方体ABCD--AA11BB11CC11DD11中,M是AB 上的一点,N是AA11CC的中点,,MN平面AA11DC.求证::①MN∥AD11;;(2)证明::①因为ABCD--AA11BB11CC11DD11为正方体,,所以AD11A11D.又因为CD平面ADD11AA11,AD11平面平面ADD11AA11,,所以CDAD11..因为AA11DCD=D,所以AD11平面AA11DC.又因为MN平面AA11DC,所以MN∥AD11..②MM是AB的中点..(2)证明::②设AD11AA11D=O,连接ON,在△AA11CDC中,,AA11O=OD,A11N=NC.所以ON12CD12AB,即ON∥AM.又因为MN∥OA,所以四边形OAMNO为平行四边形,,所以ON=AM.因为ON=12AB,所以AM=12AB,即MM是BAB的中点..方法技巧证明两条直线平行的方法常见的有:(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理::如果一条直线与一个平面平行,,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理::如果两个平行平面同时和第三个平面相交,,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理::垂直于同一个平面的两条直线平行..即时训练11--1:如图,,已知AB平面ACD,DE平面ACD,△ACD为等边三角形,,AD=DE=2AB,F为CD的中点..求证::平面BCE平面CDE.证明::取ECE的中点G,连接FG,BG,AF.因为FF为DCD的中点,,所以GF∥DE,且GF=12DE.因为AB平面ACD,DE平面ACD,所以AB∥DE.则GF∥AB.又因为AB=12DE,所以GF=AB,则四边形BGFAB为平行四边形..于是AF∥BG.因为△DACD为等边三角形F,F为DCD的中点,,所以AFCD.因为DE平面ACD,AFACD,AF平面平面ACD,所以DEAF.又因为CDDE=D,CD,DEDE=D,CD,DE平面平面CDE,所以AF平面CDE.因为BG∥AF,所以BG平面CDE.因为BGBG平面平面BCE,所以平面BCE平面CDE.【备用例11】如图所示,,已知矩形ABCD,过AA作SA平面AC,再过AA作AESB交SB于点E,过点EE作EFSC交SC于点F.(1)求证:AFSC;证明::(1)因为SA平面AC,BCBC平面平面AC,所以SABC,因为ABCD为矩形,,所以ABBC,又SAAB=A,所以BC平面SAB,所以BCAE.又SBAE,BCSB=B,所以AE平面SBC,所以AESC.又EFSC,AEEF=E,所以SC平面AEF,所以AFSC.(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AGSD.证明::(2)因为SA平面AC,所以SADC,又ADDC,SAAD=A,所以DC平面SAD.所以DCAG.又由(1)有SC平面AEF,AGAEF,AG平面平面AEF,所以SCAG,又DCSC=C,所以AG平面SDC,所以AGSD.题型二平面与平面垂直的性质定理的应用【例22】(12分))如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,,四边形ABCD是DAB=60,,且边长为aa的菱形..侧面PAD为正三角形,,其所在平面垂直于底面ABCD.规范解答::(1)如图所示,,连接BD.因为四边形ABCD是菱形,,且DAB=60,,所以△ABD是正三角形,,22分因为GG是AD的中点,,所以BGAD.33分又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD.所以BG平面PAD.66分(1)若GG为AD边的中点,,求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB.规范解答::(2)连接PG.因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,,所以PGAD.77分由(1)知BGAD,而PGBG=G,PGP平面PBG,BGBG平面平面PBG.所以AD平面PBG.10分又因为PBPB平面平面PBG,所以ADPB.12分方法技巧利用面面垂直的性质定理,,证明线面垂直的问题时,,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线..即时训练22--1:已知::如图,,平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E为垂足..证明::(1)在平面ABC内任取一点D,作DFAC于点F,作DGAB于点G.因为平面PAC平面ABC,且交线为AC,所以DF平面PAC.因为PAPA平面平面PAC,所以DFPA.同理可证,DGPA.因为DGDF=D,所以PA平面ABC.(1)求证:PA平面ABC;证明::(2) 连接BE并延长交PC于点H.因为EE是△PBC的垂心,,所以PCBH.又因为AE平面PBC,所以PCAE.因为BHAE=E,所以PC平面ABE,所以PCAB.又因为PA平面ABC,所以PAAB.因为PAPC=P,所以AB平面PAC.所以ABAC,即△ABC是直角三角形..(2)当EE为△PBC的垂心时,,求证::△ABC是直角三角形..【备用例22】如图,,平行四边形ABCD中,BD=2,AB=2,AD=4,将△BCD沿BD折起到△EBD的位置,,使平面EBD平面ABD.3(1)证明::由题意AB=2,BD=23,AD=4,因为AB22+BD22=AD22,,所以ABBD.因为平面EBD平面ABD,平面EBD平面ABD=BD,所以AB平面EBD.因为DEDE平面平面EBD,所以ABDE.(1)求证:ABDE(2)解::由(1)可知ABBD,因为CD∥AB,所以CDBD,从而DEBD.在三角形EDBE中,,因为DB=23,DE=CD=AB=2.所以SS△BED==12BDDE=23..又因为AB平面EBD,EBEBD,EB平面平面EBD,所以ABBE.因为BE=BC=AD=4,所以SS△ABE==12ABBE=4.又因为DEBD,平面EBD平面ABD,所以DE平面ABD,而ADAD平面平面ABD,所以DEAD.所以SS△ADE==12ADDE=4.综上,,三个面之和为三棱锥EE--DABD的侧面积,,即为8+23..(2)求三棱锥EE--ABD的侧面积..题型三线面、面面垂直的综合问题【例33】如图,,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(1)证明::因为长方形ABCD中,BC∥AD,又BC平面PDA,ADPDA,AD平面平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明::取CD的中点H,连接PH,因为PD=PC,所以PHCD.又因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=CD,所以PH平面ABCD.又因为BCBC平面平面ABCD,所以PHBC.又因为长方形ABCD中,BCCD,PHCD=H,所以BC平面PDC.又因为PDPD平面平面PDC,所以BCPD.(2)证明:BCPD;(3)求点CC到平面PDA的距离..(3)解::连接AC.由(2)知HPH为三棱锥PP--CADC的高..因为PH=2212PDCDæö-ç÷èø==2243-==7,S△ADC==12ADCD=12336=9,所以PADCV-==13SS△ADCPH=13997=37..由(2)知BCPD,又因为AD∥BC,所以ADPD,所以SS△PDA==12PDAD=12443=6.设点CC到平面APDA的距离为h.因为CPDAV-==PADCV-,,所以13SS△PDAh=37,,所以h=3713PDASD×==37163´==372..方法技巧直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证..即时训练33--1:如图,,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,,EP平面ABCD.证明::(1)在矩形DABCD中,,因为AP=PB,DQ=QC,所以APCQ.所以PAQCP为平行四边形..所以CP∥AQ.因为CPCP平面平面CEP,AQ平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证::平面AEQ平面DEP.证明::(2)因为EP平面ABCD,AQABCD,AQ平面平面ABCD,所以AQEP.因为AB=2BC,P为AB的中点,,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形..所以AQDP.又EPDP=P,所以AQ平面DEP.因为AQAQ平面平面AEQ,所以平面AEQ平面DEP.题型四易错辨析推理不严谨致误【例44】求证::如果一个平面与另一个平面的垂面平行,,那么这两个平面互相垂直..已知::,,∥..求证::..错解::设=a,=b,在内作直线ma,因为,=a,m,=a,m,ma,,ma,所以m.因为∥,所以在内存在直线n,使n∥m.因为n∥m,m,所以n,因为因为nn,,所以.纠错::上述证法错在逻辑推理不严谨,,对面面平行的性质定理理解不透彻..正解::证明m同上..由∥,在内任取一点P,则直线mm与点PP确定一个平面..设=n,因为∥,=m,=n,所以m∥n.又因为m,所以n.又因为又因为nn,,所以.jj