高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质 强化练习

2019年高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质强化练习新人教A版必修2一、选择题1．(xx～xx·深圳高一检测)直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是(  )A．相交B．平行C．异面D．不确定[答案] D2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(  )A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直[答案] C3．(xx·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．(  )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[答案] C4．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么(  )A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PA≠PC[答案] C5．(xx～xx·杭州高二检测)如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的(  )A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α、β所成的角相等[答案] D6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1 及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(  )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案] A[解析] ∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C.又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.二、填空题7．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．[答案] 平行[解析] 由于直线a垂直于平面α内的两条相交直线m，n，则a⊥α.同理，b⊥α，则a∥b.8．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号)．(1)直线DE∥平面ABC；(2)直线DE⊥平面VBC；(3)DE⊥VB；(4)DE⊥AB.[答案] (1)(2)(3)9．△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2cm、3cm、4cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________．[答案] 3cm[解析] 如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′， △ABC的重心为G，连接CG并延长交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝(A′A＋B′B)＝，CC′＝4，CGGE＝21，在直角梯形EE′C′C中，可求得GG′＝3.三、解答题10．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：平面BCE⊥平面CDE.[分析] 由题意易知AF⊥平面CDE，只需在平面BCE中找一直线与AF平行即可．[证明] 取CE的中点G，连接FG，BG，AF.∵F为CD的中点，∴GF∥DE，且GF＝DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE.则GF∥AB.又∵AB＝DE，∴GF＝AB.则四边形GFAB为平行四边形．于是AF∥BG.∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又∵CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDE，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.规律总结：此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题．证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证．或者从结论出发逆推分析．11．如右图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.[证明] (1)取CD的中点E，连接EM、EN，则CD⊥EM，且EN∥PD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥DC，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.因此，MN⊥CD，而CD∥AB，故MN⊥AB.(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，取PD的中点K，连接AK，KN，则KN綊DC綊AM，且AK⊥PD.∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC，又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD.12．(xx·陕西)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.证明：A1C⊥平面BB1D1D.[分析] 先把线面垂直转化为线线垂直，再通过计算得出另一组线线垂直，最后可以得到线面垂直．[证明] ∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D.