高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 练习含解析

第二章点直线平面之间的位置关系直线和平面垂直的判定平面和平面垂直的判定一、选择题1．下列四个命题中错误的个数是①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．A．1B．2C．3D．4【答案】B2．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是A．②③B．①③C．②④D．③④【答案】D【解析】对于①，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，不可能垂直，所以①不正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，所以②不正确；③④正确，故选D．3．在空间四边形中，平面平面，且平面，则是A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】过点作于点，由平面平面，得平面，则．又平面，所以，所以平面，所以，即是直角三角形，故选A． 4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∴BD⊥CD．又∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．5．如图，平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线，垂足为，则＝A．B．C．D．【答案】A6．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，． A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A7．如图所示，三棱锥的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【答案】D【解析】∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC．又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．8．下列命题中错误的是A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ【答案】B【解析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于平面β，故可推断出A正确．α内与两平面的交线平行的直线都平行于平面β，故B错误．根据平面与平面垂直的判定定理可知C正确．根据两个平面垂直的性质推断出D正确，故选B．二、填空题 9．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．【答案】610．如图所示，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________．【答案】平行【解析】∵DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，∴DE∥PA．又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．11．如图，在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，且AB=AD，则AD与平面BCD所成的角是__________．【答案】45°【解析】如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ADO=45°． 12．如图，平面ABC⊥平面BCD，，且，则__________．【答案】三、解答题13．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，．（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求证：CF⊥平面BDE． 【解析】（1）∵，且，，∴四边形为平行四边形，∴．∵，∴AF∥平面BDE．14．如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（1）求证：BF⊥平面ACFD；（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【解析】延长相交于一点，如图所示． 因为平面平面，且，所以平面，因此，．又因为，，，所以为等边三角形，且为的中点，则．所以平面．（2）因为平面，所以是直线与平面所成的角．在中，，得．所以，直线与平面所成的角的余弦值为．15．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：平面BCE⊥平面CDE．