高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 练习

2019-2020年高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质练习新人教A版必修2一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(  )A．相交B．异面C．平行D．不确定[答案] C2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1C1，则有(  )A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面D．B1B与l相交[答案] B[解析] 因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B．3．(xx·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．(  )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[答案] C4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么(  )A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PA≠PC[答案] C5．(xx·杭州高二检测)如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的(  )A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α、β所成的角相等[答案] D 6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(  )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案] A[解析] ∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C．又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C．又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C．故选A．二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________.[答案] 4[解析] 如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.8．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号)．(1)直线DE∥平面ABC；(2)直线DE⊥平面VBC；(3)DE⊥VB； (4)DE⊥AB．[答案] (1)(2)(3)三、解答题9．(xx·陕西)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.证明：A1C⊥平面BB1D1D．[分析]  先把线面垂直转化为线线垂直，再通过计算得出另一组线线垂直，最后可以得到线面垂直．[证明] ∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．10．如右图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD．[证明] (1)取CD的中点E，连接EM、EN，则CD⊥EM，且EN∥PD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥DC，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.因此，MN⊥CD，而CD∥AB，故MN⊥AB．(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，取PD的中点K，连接AK，KN，则KN綊DC綊AM，且AK⊥PD．∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.因此MN⊥PD．由(1)知MN⊥DC，又PD∩DC＝D， ∴MN⊥平面PCD．能力提升一、选择题1．(xx·深圳高一检测)直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是(  )A．相交B．平行C．异面D．不确定[答案] D[解析] ∵AD∥BC，∴梯形ABCD确定一个平面α.∵l⊥AB，l⊥CD，AB和CD相交．∴l⊥α.由于AD∥BC，m⊥AD，m⊥BC，则m⊥α或m∥α或m⊂α或m与α相交，则l∥m或l与m异面或l与m相交．2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(  )A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直[答案] C3．下列命题正确的是(  )①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α.A．①②B．①②③C．②③④D．①②④[答案] A[解析] 由性质定理可得(1)(2)正确．4．(xx·河北衡水中学六模)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是(  )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1 C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°[答案] D[解析] A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，利用排除法选D．二、填空题5．三棱锥P－ABC中，O是P在底面内的射影．①若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的________心；②若P到△ABC三条边的距离相等，则O是△ABC的________心；③若PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心．[答案] ①外 ②内 ③外6．△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2cm、3cm、4cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________.[答案] 3cm[解析] 如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG并延长交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝(A′A＋B′B)＝，CC′＝4，CGGE＝21，在直角梯形EE′C′C中，可求得GG′＝3.三、解答题7．(xx·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1.[答案] (1)详见解析；(2)详见解析．[分析] (1)由三棱锥性质知侧面BB1C1C为平面四边形，因此点E为B1C的中点，从而由三角形中位线性质得DE∥AC，再由线面平行判定定理得DE∥平面AA1C1C．(2)因为直三棱柱ABC－A1B1C1中BC＝CC1，所以侧面BB1C1C为正方形，因此BC1⊥B1C，又AC⊥BC，AC⊥CC1(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直判定定理得AC⊥平面BB1C1C，从而AC⊥BC1，再由线面垂直判定定理得BC1⊥平面AB1C，进而可得BC1⊥AB1.[解析] (1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC．又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC．因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC．又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.8．(xx·浙江模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°.G为线段PC上的点．(1)证明：BD⊥平面APC； (2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值；(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值．[解析] (1)证明：设点O为AC，BD的交点．由AB＝BC，AD＝CD，得BD垂直平分线段AC．所以O为AC的中点，BD⊥AC．又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面APC．(2)连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面PAC所成的角．由题意得OG＝PA＝.在△ABC中，因为AB＝BC，∠ABC＝120°，AO＝CO，所以∠ABO＝∠ABC＝60°，所以AO＝OC＝AB·sin60°＝.在Rt△OCD中，OD＝＝2.在Rt△OGD中，tan∠OGD＝＝.所以DG与平面APC所成角的正切值为.(3)因为PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD，所以PC⊥OG.在Rt△PAC中，PC＝＝.所以GC＝＝.从而PG＝， 所以＝.