高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 课件

2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质 课标要求:理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质,并能运用性质定理解决一些简单问题. 自主学习知识探究1.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒.图形语言a∥b 探究1:(教师备用)(1)垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗?(2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗?(3)过一点有几条直线与已知平面垂直?答案:(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.(2)不可以.若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形.(3)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线. 2.平面与平面垂直的性质定理垂直于交线 探究2:(教师备用)(1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?答案:(1)正确.若设α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直,否则不垂直. 3.空间位置关系的相互转化垂直关系之间的相互转化 自我检测(教师备用)1.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,则下列结论中错误的是()(A)AP⊥AC(B)AP⊥AB(C)AP⊥平面ABC(D)AP与BC所成的角为45°D 2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()(A)若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n(B)若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n(C)若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β(D)若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βD3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m∥α,n⊂β,则下列叙述正确的是()(A)若α∥β,则m∥n(B)若m∥n,则α∥β(C)若n⊥α,则m⊥β(D)若m⊥β,则α⊥βD 4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上的射影H必在直线上.答案:AB 5.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(用序号表示).答案:①③④⇒②(或②③④⇒①) 题型一直线与平面垂直的性质定理的应用【例1】(1)已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面四个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是()(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③课堂探究(1)解析:由线面垂直的性质定理可知①正确;对于②,当α∥β,m⊂α,n⊂β时,m与n可能平行也可能异面,故②不正确;对于③,当m∥n,m∥α时,n∥α或n⊂α,故③不正确;对于④,由m∥n,m⊥α,得n⊥α,又α∥β,所以n⊥β,故④正确.故选C. (2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:①MN∥AD1;(2)证明:①因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1. ②M是AB的中点. 方法技巧证明两条直线平行的方法常见的有:(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 即时训练1-1:如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F.(1)求证:AF⊥SC;证明:(1)因为SA⊥平面AC,BC⊂平面AC,所以SA⊥BC,因为ABCD为矩形,所以AB⊥BC,又SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB,所以BC⊥AE.又SB⊥AE,BC∩SB=B,所以AE⊥平面SBC,所以AE⊥SC.又EF⊥SC,AE∩EF=E,所以SC⊥平面AEF,所以AF⊥SC. (2)若平面AEF交SD于点G.求证:AG⊥SD.证明:(2)因为SA⊥平面AC,所以SA⊥DC,又AD⊥DC,SA∩AD=A,所以DC⊥平面SAD.所以DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂平面AEF,所以SC⊥AG,又DC∩SC=C,所以AG⊥平面SDC,所以AG⊥SD. 1-2:下列命题:①垂直于同一条直线的两个平面互相平行;②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;③一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.其中正确的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3解析:①②③均正确.故选D. 题型二平面与平面垂直的性质定理的应用【例2-1】(12分)如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;规范解答:(1)如图所示,连接BD.因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,…………………2分因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.…………………………3分又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.……………6分 (2)求证:AD⊥PB.规范解答:(2)连接PG.因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.…………………………………7分由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG⊂平面PBG,BG⊂平面PBG.所以AD⊥平面PBG.…………………………10分又因为PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.……………………………………12分 【2-2】如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,点E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;证明:(1)如图,在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于点F.因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC,所以DF⊥PA.作DG⊥AB于点G,同理可证DG⊥PA.因为DG,DF都在平面ABC内,且DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC. (2)当点E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.证明:(2)如图,连接BE并延长交PC于点H.因为点E是△PBC的垂心,所以PC⊥BE.又AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,所以PC⊥AE.因为AE∩BE=E,所以PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE,所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,所以PA⊥AB.因为PA∩PC=P,所以AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形. 方法技巧利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线. 即时训练2-1:如图,平行四边形ABCD中,BD=2,AB=2,AD=4,将△BCD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.证明:因为AB=2,BD=2,AD=4,所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD,因为平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,所以AB⊥平面EBD,因为DE⊂平面EBD,所以AB⊥DE.求证:AB⊥DE. 2-2:如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.(1)求证:BC⊥平面ACD; 法二取AC的中点O,连接OD,则OD⊥AC,因为平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,DO⊂平面ACD,所以DO⊥平面ABC,所以OD⊥BC,又因为AC⊥BC,AC∩OD=O,所以BC⊥平面BCD. (2)求几何体D-ABC的体积. 题型三线面、面面垂直的综合问题【例3】如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,又BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA. (2)证明:BC⊥PD;(2)证明:取CD的中点H,连接PH,因为PD=PC,所以PH⊥CD.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH⊥平面ABCD.又因为BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD. (3)求点C到平面PDA的距离. 方法技巧直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证. 即时训练3-1:如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.证明:(1)在矩形ABCD中,因为AP=PB,DQ=QC,所以APCQ.所以AQCP为平行四边形.所以CP∥AQ.因为CP⊂平面CEP,AQ⊄平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(1)求证:AQ∥平面CEP; (2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.证明:(2)因为EP⊥平面ABCD,AQ⊂平面ABCD,所以AQ⊥EP.因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.因为AQ⊂平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP. 3-2:如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为AB的中点,N为BC的中点,沿DE将△ADE折起.(1)若平面ADE⊥平面BCDE,求证:AB=AC;证明:(1)取DE的中点M,连接AM,因为在翻折前,四边形ABCD为矩形,AB=2AD,E为AB的中点,所以翻折后AD=AE,则AM⊥DE,又平面ADE⊥平面BCDE,所以AM⊥平面BCDE,所以AM⊥BC,又N为BC的中点,所以MN⊥BC,因为AM∩MN=M,所以BC⊥平面AMN,所以BC⊥AN,又N为BC的中点,所以AB=AC. (2)若AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE.证明:(2)由(1)设M是DE中点,因为N为BC的中点,所以MN∥DC,又BC⊥DC,所以MN⊥BC,又AB=AC,所以BC⊥AN,又MN∩AN=N,所以BC⊥平面AMN,所以BC⊥AM,由(1)知AM⊥DE,又DE与BC不平行,所以AM⊥平面BCDE,又AM⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCDE.