2．4 平行与垂直综合问题1．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则(D)A．n⊥βB．n∥β或n⊂βC．n⊥αD．n∥α或n⊂α解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，结合图形知，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．2．若三个平面α，β，γ，之间有α∥γ，β⊥γ，则α与β(A)A．垂直B．平行C．相交D．以上三种可能都有3．对于任意的直线l与平面α相交，在平面α内不可能有直线m，使m与l(A)A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线4．给出以下四个命题，其中真命题有①②④(填序号)．①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．1．已知平面α外不共线的三点A，B，C，且AB∥α，则正确的结论是(D)A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内2．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A且与l，α都成30°角的直线有且只有(B)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图所示
与α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°时，直线AC，AB都满足条件，故选B.3.下列命题中，正确的是(C)A．经过不同的三点有且只有一个平面B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D．垂直于同一个平面的两个平面平行4．用α表示一个平面，l表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l(D)A．平行B．相交C．异面D．垂直5．若m，n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为(C)①⇒n⊥α ②⇒m∥n③⇒m⊥n ④⇒n⊥αA．1个B．2个C．3个D．4个6．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(B)A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β7．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值构成的集合是(C)
A．{2}B．{}C．{t|2≤t≤2}D．{t|≤t≤2}解析：取CC1，C1D1的中点G，H，连接B1G，B1H，GH，则平面B1GH∥平面A1BE，所以满足题意的点F在GH上移动．则B1G与平面CDD1C1所成角的正切值最小且最小值为2，设GH的中点为M，则B1M与平面CDD1C1所成角的正切值最大且最大值为2，故选C.8．设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是(B)①若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥β，α∥β，则l∥n.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，直线l，m可能互相平行，①不正确；对于②，直线m，n可能是平行直线，此时不能得知l⊥α，②不正确；对于③，由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”得知，③正确；对于④，由l∥m，m⊥α得l⊥α，由n⊥β，α∥β得n⊥α，因此有l∥n，④正确．综上所述，其中命题正确的个数是2，故选B.9．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是(D)A．点H是△A1BD的垂心B．AH的延长线经过点C1C．AH垂直平面CB1D1D．直线AH和BB1所成角为45°
10．如右图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：(1)AE⊥平面BCE;(2)AE∥平面BFD.证明：(1)因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，又AD⊥平面ABE，所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥AE，因为BC与BF相交，所以AE⊥平面BCE.(2)连接AC交BD于G，连接FG，因为EB＝BC，所以F是EC中点，所以AE∥FG，又AE⊄平面BFD，所以AE∥平面BFD.11．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的各条棱均相等，AA1⊥平面ABC，D是BC上一点，AD⊥C1D.求证：(1)A1B∥面ADC1；(2)面ADC1⊥面BCC1B1.证明：(1)连接A1C交AC1于O，则O为A1C的中点，∵B1B⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴B1B⊥AD，又∵AD⊥C1D，B1B与C1D是平面BCC1B1内的两条相交线，∴AD⊥平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵△ABC是正三角形，∴D为BC中点，连接OD，在△A1BC中，OD∥A1B，OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.(2)∵AD⊥C1D，又AD⊥C1C，C1D与C1C相交，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1.12．如下图所示，△PAD是正三角形，ABCD是正方形，E，F分别为PC，BD中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：平面PAD⊥平面PCD.证明：(1)取PD中点G，AD中点O，连接EG，GO，OF.∵E、F分别是PC、BD中点，∴GE綊DC，OF綊AB，又∵AB綊CD，∴GE綊OF，∴EFOG是平行四边形，∴EF∥GO，又EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD.
1．立体几何证明问题书写是一个难点，应该反复练习才能够熟练，必要时可做几个样题．2．结论为垂直的命题可将a∥α视为a⊂α，α∥β视为α和β是同一个平面；判断a∥α时特别留意a是否在平面α外．
微信/支付宝扫码支付