高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 平面与平面垂直的性质 课件

2.3.4平面与平面垂直的性质 1.理解平面与平面垂直的性质定理.2.能应用面面垂直的性质定理证明空间中线面的垂直关系.3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系. 平面与平面垂直的性质定理 【做一做】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于点F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直解析:因为平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面ABB1A1,平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1=A1B1,EF⊥A1B1,所以EF⊥平面A1B1C1D1.答案:D 121.理解平面与平面垂直的性质定理剖析:(1)定理成立的条件有三个:①两个平面互相垂直;②直线在其中一个平面内;③直线与两个平面的交线垂直.(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直.(3)若两个平面垂直,过其中一个平面内一点垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内. 122.线线垂直、线面垂直和面面垂直之间的关系剖析:线面垂直是线线垂直和面面垂直的纽带.对于面面垂直的判定和性质定理,可借助于长方体进行抽象概括.首先由线面垂直的定义可知,若线面垂直,则线和面内任意直线都垂直;根据线面垂直的判定定理,若直线垂直于平面内的两条相交直线,则线面垂直;然后根据面面垂直的判定定理,若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直,我们可以简记为“线面垂直,则面面垂直”;同样根据面面垂直的性质定理,我们还可证得,若面面垂直,则线面垂直.由上可得,利用线面垂直,可以证明线线垂直,也可以实现面面垂直的证明.因此,我们可以说线面垂直是线线垂直、面面垂直的纽带,通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直的相互转化. 题型一题型二【例1】如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:平面SCD⊥平面SBC.证明:因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.因为平面SDC⊥平面ABCD,平面SDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面SCD.因为BC⊂平面SBC,所以平面SCD⊥平面SBC. 题型一题型二反思若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理时,要注意定理成立的三个条件. 题型一题型二【变式训练1】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB. 题型一题型二证明:在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.因为平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AD⊥BC.因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,所以BC⊥AB. 题型一题型二【例2】如图,平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线段AB=4cm,AC,BD分别在平面α和平面β内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3cm,BD=12cm,求线段CD的长.解:∵AC⊥l,AC=3cm,AB=4cm,∴BC=5cm.∵BD⊥l,α∩β=l,α⊥β,BD⊂β,∴BD⊥α.又BC⊂α,∴BD⊥BC. 题型一题型二反思在空间中求线段长度的问题一般转化到三角形中求解,如果已知垂直关系较多,通常最终转化为线线垂直,即在直角三角形中求线段长度. 题型一题型二【变式训练2】若构成教室墙角的三个墙面分别记为α,β,γ,交线分别记为BA,BC,BD,教室内一点P到三墙面α,β,γ的距离分别为3m,4m,1m,则点P与墙角B的距离为m.解析:由已知可得P到墙角B的距离为以3,4,1为边长构造的长方体的对角线长,所以