高中数学人教A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3直线与平面垂直的性质 限时规范训练

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质【基础练习】1．在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是 (  )A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交且垂直 D．相交但不垂直【答案】C【解析】平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，又EF⊥A1B1，EF⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，故EF⊥平面A1B1C1D1.2．(2019年北京模拟)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(  )A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【答案】D【解析】选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．3．设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列能得出m⊥β的是(  )A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α【答案】D【解析】对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D．4．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于 (  ) A．2∶1    B．3∶1    C．3∶2    D．4∶3【答案】A【解析】如图，由已知得AA′⊥平面β，∠ABA′＝，BB′⊥平面α，∠BAB′＝，设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，所以＝.5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________.【答案】平行【解析】∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l,∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n.6．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′的体积V＝________.【答案】4【解析】∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β.∴V＝S△A′BB′·AA′＝××AA′＝××2×4×3＝4.7．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC. 【证明】(1)在△PAC中，D，E分别为PC，AC中点，则PA∥DE.又PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF.(2)△DEF中，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4，DF＝5，∴DF2＝DE2＋EF2，即DE⊥EF.又PA⊥AC，即DE⊥AC.∴DE⊥平面ABC.∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.8．如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC.过A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.【证明】因为平面SAB⊥平面SBC且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.【能力提升】9．(2019年广西柳州期末)如图，直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为(  )A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】如图，连接BC.∵二角面α－l－β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β. 又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，∴CD＝＝.10．(2019年广东肇庆校级月考)如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝(  )A．∶2 B．∶3C．∶2 D．∶3【答案】C【解析】由题意，两个矩形的对角线长分别为AC＝5，BF＝2，可得CF＝，所以cosα＝＝，cosβ＝，所以cosα∶cosβ＝∶2.11．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线，给出4个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中3个论断为条件，余下1个论断为结论，写出你认为正确的一种说法：________(用序号表示)．【答案】②③④⇒①或①③④⇒②【解析】由题意可构造出四种说法(1)①②③⇒④；(2)①②④⇒③；(3)①③④⇒②；(4)②③④⇒①.只有(3)(4)是正确的．12．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)求证：平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．【解析】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE. 又BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝，所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.