人教版高中数学必修第二册：6.2.4《向量的数量积 第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积》导学案 (含答案)

6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积1..理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；2.会求平面向量的数量积、投影向量；3.熟记平面向量数量积的性质；4.能运用数量积的性质解决问题；1..教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量；2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。1．向量的夹角的定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则叫做向量的。显然，当时，；当时，。2.向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的(或)，记作，即．规定零向量与任一向量的数量积为．3.投影向量的定义：如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影 (project).,叫做向量在向量上的。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则就是向量在向量上的。4.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔．(2)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝．(3)a·a＝或|a|＝＝.(4)|a·b|≤.一、探索新知思考1：一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？1.向量的夹角的定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则叫做向量的。显然，当时，；当时，。如果的夹角是，我们就说垂直，记作。 思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？2.数量积的定义：已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即。规定：零向量与任一向量的数量积为。说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（2）中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[0°，180°]。思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？结论：数量积符号由的符号所决定。例1.已知的夹角，求。3.投影向量的定义：如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影(project).,叫做向量在向量上的。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则就是向量在向量上的。 探究1：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与之间有怎样的关系？探究2：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？牛刀小试：1.已知在当时，试判断的形状。1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝(  )A．20 B．－20C．20D．－202．设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是(  ) A．e1·e2＝1B．e1·e2＝－1C．|e1·e2|＝1D．|e1·e2|