人教版高中数学必修第二册：6.4.3《余弦定理、正弦定理（第3课时）余弦定理、正弦定理的应用举例》导学案 (含答案)

6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时余弦定理、正弦定理的应用1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；2.了解常用的测量相关术语；3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。1.教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；2.教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。1．基线的概念与选择原则(1)定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的叫做基线．(2)性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫，目标视线在水平视线下方时叫．(如图所示)(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示) 一、探索新知类型一距离问题例1如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.1.基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做。如例1中的CD，为使测量具有较高精准度，应根据实际需要选取合适的基线长度，基线，精确到越高。如： 类型二底部不可到达的建筑物的高度例2如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。类型三角度问题例3.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距7nmile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到）？需要航行的距离是多少海里（精确到1nmile）？ 1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(  )A．北偏东5°    B．北偏西10°C．南偏东5°D．南偏西10°2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于(  )A．50米B．100米C．50米D．100米3．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是(  )A．8(＋)海里/时B．8(－)海里/时C．16(＋)海里/时D．16(－)海里/时 4．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为m.5．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．这节课你的收获是什么？参考答案：例1.解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得 于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考：先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。例2.选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得例3.根据题意，画出示意图，如图。由余弦定理，得于是由正弦定理，得，于是由于，所以因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东大约需要航行24nmile. 达标检测1.【答案】B 【解析】由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.2.【答案】A 【解析】因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50米．3.【答案】D 【解析】由题意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，即＝，得AB＝8(－)，因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．4.【答案】200(＋1) 【解析】过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，则BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m．5.【解析】 由题意，画出示意图．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12. 由正弦定理得AD＝·sin45°＝24(海里)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，∴CD＝8(海里)．即A处与D处之间的距离为24海里，C，D之间的距离为8海里．