人教版高中数学必修第二册：6.1《平面向量的概念》导学案 (含答案)

6.1平面向量的概念1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.1．(1)向量：既有，又有的量叫做向量．(2)数量：只有，没有的量称为数量．2．向量的几何表示(1)的线段叫做有向线段．它包含三个要素：、、．(2)向量可以用表示．向量的大小，也就是向量的(或称)，记作．向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，.3.向量的有关概念零向量长度为的向量，记作单位向量长度等于个单位的向量平行向量(共线向量)方向的非零向量向量a、b平行，记作规定：与任一向量平行相等向量长度且方向的向量向量a与b相等，记作 一、探索新知（一）向量的实际背景与概念1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？2.（1）向量与数量的定义：既有，又有的量叫做向量(物理学中称为矢量);只有，没有的量叫做数量(物理学中称为标量).注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.练习1：下列量不是向量的是（）（1）质量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度（6）面积（7）年龄（8）身高（二）向量的几何表示探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？1.有向线段的定义在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有的线段叫做有向线段.A(起点)B（终点）aA(起点)B（终点）a如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 2.向量的几何表示画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.3.向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示）.注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.数学中的向量也叫自由向量.（2）.有向线段与向量的区别：有向线段：三要素：起点、大小、方向。向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。4.向量的模向量的大小，就是向量的长度（或模），记作或记作。思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？5.零向量：长度为0的向量，记作.单位向量：长度等于1个单位的向量.说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.（2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km） （三）.相等向量与共线向量思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？1.平行向量定义：①方向或的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.2.相等向量定义：长度且方向的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.3.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.练习2;填空：（1）平行向量是否一定方向相同？（）（2）不相等的向量是否一定不平行？（）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（）例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，（1）写出图中的共线向量；（2）分别写出图中与向量、、相等的向量.1．下列说法中正确的个数是(  )①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ④物理学中的加速度是向量．A．0B．1C．2D．32．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是(  )A．e1＝e2B．e1∥e2C．|e1|＝|e2|D．以上都不对3.（多选题）在下列判断中，正确的是(  )A.长度为0的向量都是零向量；B.零向量的方向都是相同的；C.单位向量的长度都相等；D.单位向量都是同方向；E.任意向量与零向量都共线．4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．5.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量相等的向量．这节课你的收获是什么？ 参考答案：（一）1.不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。2.练习：（1）（6）（7）（8）（二）1.思考：三个要素：起点、方向、长度.4.可以为0,1，不能为负数。例1.（三）思考：模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；牛刀小试：（1）不一定（2）不一定(3零向量（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同（7）不一定例2，达标检测1.【解析】 只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．【答案】 B2.【解析】 单位向量的模都等于1个单位，故C正确．【答案】 C3.【解析】 由定义知A正确，B由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然C、E正确，D不正确，故选ACE．【答案】 A、C、E4.【解析】 由向量的相关概念可知④⑥正确．【答案】 ④⑥5.【解】 由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与 的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.