人教版高中数学必修第二册：8.3.2《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》导学案 (含答案)

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法；2．会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积；3.会用球的体积与表面积公式解决实际问题；4．会解决球的切、接问题．1.教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积；2.教学难点：与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积会解决球的切、接问题。1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝圆锥底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝圆台上底面面积：S上底＝下底面面积：S下底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式V圆柱＝(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝(r是底面半径，h是高)，V圆台＝(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．3．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍．4．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝3.一、探索新知思考1：圆柱的展开图是什么？怎么求它的表面积？思考2：圆锥的展开图是什么？怎么求它的表面积？思考3：参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么，它的表面积是什么？思考4：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？思考5：根据圆台的特征，如何求圆台的体积？思考6：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？1.球的表面积公式：（R为球的半径） 例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？思考7：在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？例2.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(  )A．1∶2        B．1∶C．1∶D.∶2 2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(  )A．7    B．6    C．5    D．33．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为．4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为．5．一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上，则正方体的表面积为．6．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积．7．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积．这节课你的收获是什么？参考答案：思考1.圆柱的侧面展开图为矩形 思考2圆锥的侧面展开图是扇形思考3.圆台的侧面展开图是扇环思考4. 思考5.由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台的体积公式(过程略)．其中S，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．思考6.例1.解：一个浮标的表面积为所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料思考7第一步，分割球面被分割成n个网格，连接球心O和每个小网格的顶点。设“小锥体”的体积为： 则球的体积为：第二步，求近似和所以如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥。的值就趋向于球的半径R，因为，所以球的体积为例2.解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。 达标检测1.【答案】C 【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶.2.【答案】A 【解析】设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.3.【答案】7π 【解析】由已知圆台上、下底面积分别为S上＝π，S下＝4π.则V圆台＝·(π＋＋4π)·3＝7π.4.【答案】6π 【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.5.【答案】8 【解析】设球的半径为R，正方体的棱长为a，则πR3＝π，故R＝1，由a＝2R＝2，所以a＝，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×＝8.6.【解析】由题意V锥体＝Sh＝πr2·h＝.7.【解析】 (1)由R＝1，所以S球＝4πR2＝4π，V＝πR3＝π.(2)由V＝πR3＝π，所以R＝3，所以S＝4πR2＝36π.