人教版高中数学必修第二册：8.3.1《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》导学案 (含答案)

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法；2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的．2．棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式V＝(S为底面面积，h为高)；棱锥的体积公式V＝。(S为底面面积，h为高)；棱台的体积公式V＝．其中，台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h.一、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？1.结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．例1.四面体P-ABCD的各棱长均为a，求它的表面积。2.一般棱柱的体积公式也是V=Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。3.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即。棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。思考4：根据台体的特征，如何求台体的体积？思考5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到0.01m3）？ 1．判断正误(1)锥体的体积等于底面积与高之积．(  )(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．(  )(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.(  )2．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是(  )A.        B.C.D．13．已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为(  )A.B. C.D.4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为．5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥PABC的体积V.这节课你的收获是什么？参考答案：思考1.侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。思考2. 【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积。思考3.【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。例1.解：因为是正三角形，其边长为a，所以，因此，四面体P-ABC的表面积思考4.由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式。棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。思考5.例2.1.解：由题意知所以这个漏斗的容积。 达标检测1.【答案】 (1)× (2)√ (3)√2.【答案】A 【解析】三棱锥D1ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.故选A。3.[答案] D4.【答案】18a2 【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝a2×6＝a2，所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2.5.【解析】三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.