人教版高中数学必修第二册：《6.3.2平面向量的坐标表示》教案

6.3.2平面向量的坐标表示教学设计课题6.3.2平面向量的坐标表示单元第六单元学科数学年级高一教材分析本节内容是平面向量的坐标表示，将平面向量与解析几何有效结合，有助于解决很多实际问题。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用平面向量基本定理推导出平面向量的坐标表示及坐标运算；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；3.数学建模：掌握平面向量坐标表示及坐标运算；4.直观想象：利用平面向量坐标运算解决一系列实际问题；5.数学运算:能够正确运用平面向量坐标表示及坐标运算；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点平面向量坐标表示及坐标运算难点平面向量坐标表示及坐标运算教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课旧知导入：思考1：你还记得平面向量基本定理吗？平面向量基本定理：学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。讲授新课知识探究（一）：平面向量的正交分解思考2：若两个基底向量垂直，你能得到什么结论？ 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。举例：如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解。显然，在平面上，选取互相垂直的向量作为基底向量互相垂直的两个方向分解就是正交分解。 知识探究（二）：向量的坐标表示 思考1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 学生根据力的分解探究平面向量的正交分解。利用力的分解探究得出平面向量正交分解,培养学生探索的精神. 知识探究（三）：向量的坐标与点的坐标之间的联系 思考1：在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间有什么联系？ 例题讲解 例1： 变式训练已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量坐标表示及坐标运算。通过思考，培养学生探索新知的精神和能力. ，∠xOA＝60°，(1)求向量的坐标；(2)若B(，－1)，求的坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝||cos60°＝4cos60°＝2，y＝||sin60°＝4sin60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6)．(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．知识探究（四）：平面向量加、减运算的坐标表示 思考1： 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。 相等向量对应坐标相等。 相等向量对应坐标互为相反数。 例题讲解 例2：利用例题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。 知识探究（五）：任一向量的坐标与点的坐标的关系思考1： 由此可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 例题讲解 例3：综合训练已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t学生例题，巩固平面向量坐标表示及坐标运算，并能够灵活运用. .(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．解：(1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.若点P在第二象限，则所以－＜t＜－.(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则＝，所以该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形．知识探究（六）：平面向量数乘运算的坐标表示 思考1： 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来的相应坐标。 例题讲解 例4： 思考2：如何用坐标表示两个向量共线的条件？ 例题讲解 例5： 变式训练已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，因为2×6－3×4＝0，所以∥，所以与共线．又＝，所以与的方向相同．例6： 变式训练设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．因为A，B，C三点共线，即与共线，所以存在实数λ(λ∈R)，使得＝λ.因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． 知识扩充 例7： 思考： 变式训练已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．解 (1)设B(x1，y1)，因为＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，所以所以所以B(3,1)．同理，可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝＝－，y2＝＝－1.所以M.(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)， ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，又＝λ(λ∈R)，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)．所以所以知识探究（七）：向量数量积运算的坐标表示 思考1：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 由此可得： 小试牛刀1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( × )(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( √ )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ