人教版高中数学必修第二册：《7.1复数的概念》教案

7.1复数的概念教学设计课题7.1复数的概念单元第七单元学科数学年级高一教材分析本节内容是复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念及几何意义，为复数的运算打好基础。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用坐标系和平面向量将复数具体刻画出来，便于更好的理解复数的几何意义；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；3.数学建模：通过数系扩充将数扩大到复数范围，以便于解决更多的实际问题，例如：一元二次方程判别式小于0时方程的解的问题；4.直观想象：利用数形结合法探究复数相关概念；5.数学运算:能够正确理解复数的概念及其几何意义；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点数系扩充、复数概念及复数的几何意义难点复数概念及复数的几何意义教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课旧知导入：思考1：你还记得实数的发展历程吗？数系的扩充自然数、整数、有理数、无理数、实数 并用图形表示其包含关系。思考2：为什么要将数系进行扩充？数系每次扩充的基本原则：第一、增加新元素；第二、原有的运算性质仍然成立；第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.思考3：方程无实数解；因为负实数不能开平方。为了解决正方形对角线的度量，以及这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。根据这个方法，为了使负实数也能开平方，我们将数系进行扩充。依照这种思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程的解。学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。 讲授新课知识探究（一）：数系的扩充和复数的概念思考4：把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配率。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？依照以上设想，把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加，结果记作a+bi.思考5：以上这些数有什么特点呢？所有实数以及i都可以写成a+bi的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。复数的概念复数的代数形式其中，a是实部，b是虚部，i为虚数单位，复数的相等虚数与纯虚数思考：复数集C和实数集R有什么联系？我们已经知道复数有如下分类：学生探究如何进行数系扩充。学生根据环环相扣的思考题，探究得出复数的概念。探究得出复数数系,培养学生探索的精神.通过思考，培养学生探索新知的精神和能力. 显然，实数集R是复数集C的真子集。由此可得，数的发展历程如下：自然数、整数、有理数、实数、复数小试牛刀1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(×)(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( √ )(3)bi是纯虚数．( × )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )2、判断以下复数哪些是虚数？哪些是纯虚数；并说出实部和虚部。例题讲解例2、已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解： ∵M∪P＝P，∴M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得解得m＝1.方法总结：学生通过例题和练习题，巩固复数概念，并能够灵活运用.学生根据思考题，探究得出复数的几何意义。利用例题和练习题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。通过思考，培养学生探索新知的精神和能力. 解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．知识探究（二）：复数的几何意义思考1:我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。那么，复数有什么几何意义呢？规定：这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点与它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应。由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系。这就是复数的第一种几何意义。 思考2:在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，那么，你能用平面向量来表示复数吗？这就是复数的另一种几何意义。 变式训练1.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．解：复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得∴∴－1