新教材人教版高中数学必修第二册第6章《6.4.1课后课时精练》(含解析)

A级：“四基”巩固训练一、选择题1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(  )A．＝B．与共线C．＝D．与共线答案 D解析 ∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，即与共线．2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·为(  )A．1B．C．－1D．－答案 A解析 由题意知，O为BC的中点，且∠ABC＝60°，||＝2，||＝1，∴·＝1×2×＝1.3．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＝＋，则的值为(  )A．1B．C．D．2答案 A解析 ∵＝＋，∴PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线．∵D为边BC的中点，∴D为PA的中点，∴＝1.4．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC 为(  )A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形答案 D解析 ∵·＝0，∴∠A的平分线所在的向量与垂直，所以△ABC为等腰三角形．又·＝，∴cosA＝，∴∠A＝.故△ABC为等边三角形．5．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(  )A．b＝a3B．b＝a3＋C．(b－a3)＝0D．|b－a3|＋＝0答案 C解析 由题意，知＝(0，b)，＝(a，a3)，＝(a，a3－b)．因为△OAB为直角三角形，所以①若⊥，则·＝0，即a3b＝0，当b＝0时，点O与点A重合；当a＝0时，点O与点B重合，故a3b≠0，即OA与OB不垂直．②若⊥，则·＝0，即b(a3－b)＝0，又b≠0，故a3＝b.③若⊥，则·＝0，即a2＋a3(a3－b)＝0，又a≠0，故a3＋－b＝0.故当△OAB为直角三角形时，有a3＝b或a3＋－b＝0，即(b－a3)＝0.二、填空题6．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M 为腰BC的中点，则·＝________.答案 2解析 根据题意可得·＝·＝－||2＋·－·＋·＝－×()2＋××1×cos135°－××2×cos135°＋2×1×cos0°＝－－＋1＋2＝2.7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________.答案 10解析 将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则＝＝＝＝－6＝42－6＝10.8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 解析 以α，β为邻边的平行四边形的面积为S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈.三、解答题9.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC． 求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．解 (1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.∴||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3.故AD＝.(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．∵cosθ＝＝＝＝＝0，∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.B级：“四能”提升训练1．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.答案 解析 如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，＝(3，)，设＝ λ，则点E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－)．因为BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E.故＝，则||＝＝，即ED＝.2．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0