A级：“四基”巩固训练一、选择题1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直答案 D解析 将展开图还原为正方体，如图所示．故选D.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直答案 C解析 连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选C.3．给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B
解析 对于①，这两个角也可能互补，故①错误；②显然正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．4．如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是( )A．M，N，P，Q四点共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为梯形答案 D解析 由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确．由三角形的中位线定理，知MQ綊BD，NP綊BD，所以MQ綊NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确，选D.5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是( )A．EF与GH平行B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上答案 D解析 连接EH，FG.因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，所以GF∥BD，且GF＝BD.因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH∥BD，且EH＝BD，所以EH∥GF，且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M在直线AC上．故选D.二、填空题6．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的是________(填序号)．答案 ①解析 由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a⊂平面α，b⊂平面β时，a与b可能平行、相交或异面，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．故正确说法的序号为①.7．如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB平行的棱有________条，分别是________．答案 3 CD，A1B1，C1D1解析 因为四棱台中两底面都是正方形，侧面ABB1A1是等腰梯形，所以AB∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1.所以AB∥C1D1.故与棱AB平行的棱有CD，A1B1，C1D1，共3条．8．P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，AC＝
a，则DE的长为________．答案 a解析 如图，∵D，E分别为△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE，并延长分别交AB，BC于M，N点，则M，N分别为AB，BC的中点，∴DE綊MN，MN綊AC，∴DE綊AC，∴DE＝a.三、解答题9．如图所示，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，如图．∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又Q，F分别是DD1，C1C的中点，∴QD綊C1F.∴四边形C1QDF为平行四边形．∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．
B级：“四能”提升训练如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；(3)若AC⊥BD，请问四边形EFGH是什么图形？解 (1)证明：在△ABD中，∵E，H分别为AB，AD的中点，∴EH∥BD，且EH＝BD.同理，在△BCD中，FG∥BD，且FG＝BD.∴EH∥FG，且EH＝FG.∴四边形EFGH是平行四边形．(2)证明：∵AC＝BD，由(1)知EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE.∴四边形EFGH是菱形．(3)∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，由(1)知四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形.
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