A级：“四基”巩固训练一、选择题1．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是( )A．①②B．②③C．①④D．③④答案 C解析 由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．不确定答案 D解析 根据题意，l⊥平面ABCD，m可能在平面ABCD内，也可能垂直平面ABCD，所以直线l与m可能平行、相交或异面，故选D.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1C1，且直线l过正方形ABCD的中心，则有( )A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面D．B1B与l相交答案 B解析 l⊥平面A1C1，BB1⊥平面A1C1.所以直线l与BB1平行或重合，又l过平面ABCD的中心，故直线l与BB1平行．4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是( )①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.A．1B．2C．3D．4答案 C解析 由题意可知①③④正确，②错误．故选C.
5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α∥β且l∥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案 D解析 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故选D.二、填空题6．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是________．答案 l∥m解析 将b平移至c，且使a与c相交，则a，c确定一个平面，记作平面α.∵l⊥b，m⊥b，∴l⊥c，m⊥c，又l⊥a，m⊥a，∴l⊥平面α，m⊥平面α，∴l∥m.7.如图，设正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，A1C1的中点，则EF的长为________．答案 解析 过点F作FG⊥AC于点G，则FG⊥平面ABC，连接GE，GE＝BC＝1，则在Rt△FGE中，EF＝＝＝.8．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.
答案 1解析 在三棱锥P－ABC中，∵PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，∴AB⊥平面APC，∵EF⊂平面PAC，∴EF⊥AB，∵EF⊥BC，∴EF⊥底面ABC，∴PA∥EF，∵F是AC的中点，E是PC上的点，∴E是PC的中点，∴＝1.三、解答题9．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明 因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.又因为a⊥AB，AB∩EB＝B，所以a⊥平面ABE.因为α∩β＝l，所以l⊂α，l⊂β.因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因为EA∩EB＝E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.B级：“四能”提升训练1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．证明 (1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)如图所示，设AD1与A1D的交点为O，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊CD綊AB，∴ON∥AM.又MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴AM＝ON＝AB，即M是AB的中点．2．如图，AA1，BB1为圆柱的母线，BC是底面圆的直径，D，E分别是BB1，A1C的中点．证明：(1)DE∥平面ABC；(2)A1B1⊥平面A1AC.证明 (1)如图，取AA1的中点F，连接DF，EF.
因为D，E分别是BB1，A1C的中点，所以DF∥AB，EF∥AC.所以DF∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面ABC.又DE⊂平面DEF，所以DE∥平面ABC.(2)因为AA1，BB1为圆柱的母线，所以AB∥A1B1.因为AA1垂直于底面圆所在的平面，所以AA1⊥AB.又BC是底面圆的直径，所以AB⊥AC.又AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面A1AC，又A1B1∥AB，所以A1B1⊥平面A1AC.
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