A级：“四基”巩固训练一、选择题1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为( )A．6B.C．2D．2答案 B解析 由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.2．将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A．6a2B．12a2C．18a2D．24a2答案 B解析 棱长为a的正方体的表面积为S1＝6a2，由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2＝27×＝18a2，因此表面积增加了12a2，故选B.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )A．1∶1B．1∶C．1∶D．1∶2答案 C解析 如图，三棱锥D1－AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线．设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥＝4××(a)2×＝2a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.B.C．200D．240答案 C解析 由三视图可作出如图所示几何体，该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为1，下底长为9，高为4，故底面积S＝＝20.又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.5.如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，则此正三棱锥的表面积为( )A．9B．18C．27D．36答案 C解析 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，
∴·3a·h′＝a2×2.∴a＝h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋2＝h′2.∴h′＝2，∴a＝h′＝6.∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.二、填空题6．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．答案 8解析 如图(1)为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图(2)所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.7．如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2(几何体BFECC′B′的体积)的两部分，那么V1∶V2＝________.答案 7∶5解析 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝S，
所以V1＝h＝Sh，V2＝V－V1＝Sh.所以V1∶V2＝7∶5.8．已知正三棱锥的侧面积是27cm2，底面边长是6cm，则它的高是________．答案 cm解析 如图所示，正三棱锥P－ABC的底面边长为6cm，过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，取AB的中点D，连接PD，OD.由题意得3××AB×PD＝27，所以PD＝3cm.又OD＝×6＝cm，所以它的高PO＝＝＝cm.三、解答题9．甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积)．(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．解 (1)将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱．
将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥．(2)因为正四棱柱的底面边长为2a，高为a，所以其体积V柱＝(2a)2·a＝4a3.又因为正四棱锥的底面边长为2a，高为h＝＝2a，所以其体积V锥＝(2a)2·2a＝a3.因为42－2＝16－＝>0，即4>，所以4a3>a3，所以V柱>V锥，故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大．B级：“四能”提升训练1．已知长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则长方体的体对角线的长是________．答案 2解析 设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则有⇒则长方体的体对角线的长为＝＝＝2.2．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，记为h0，所以
S侧＝3××(20＋30)h0＝75h0.上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325，所以h0＝(cm)．又O′D′＝××20＝(cm)，OD＝××30＝5(cm)，记棱台的高为h，则h＝O′O＝＝＝4(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积V＝(S上＋S下＋)＝×＝1900(cm3)．
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