A级：“四基”巩固训练一、选择题1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线答案 D解析 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．2．下面空间图形画法错误的是( )答案 D解析 D中被遮住的线画成了实线．3．已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有( )A．一个B．四个C．一个或四个D．无法确定平面的个数答案 C解析 当空间四点共面时，它们确定一个平面；当空间四点不共面时，每三个点都可以确定一个平面，即四个平面．4．给出下列四个命题：①不共面的四点中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数为( )A．0B．1C．2D．3答案 B解析 ①假设其中有三点共线，则该直线与直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故不共面的四点中任意三点不共线，所以①正确；②当A，B，C共线时，结论可能不成立，所以②不正确；利用正方体模型，易知③不正确；由空间四边形，知④不正确．
5．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ与β的交线必过( )A．点AB．点BC．点C，但不过点DD．点C和点D答案 D解析 根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在平面β与γ的交线上．二、填空题6．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________公共点．答案 1个解析 若l与α没有公共点，则l⊄α，又A∈l，所以A∉α与A∈α矛盾；若l与α有一个公共点，A∈α，A∈l，B∉α，B∈l可以同时成立，若l与α至少有两个不同的公共点，则由基本事实2知l⊂α，又B∈l，所以B∈α与B∉α矛盾，所以l与α有且仅有一个公共点A.7．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．答案 36解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．8．若平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线共有________条．答案 1或2或3解析 当α过β与γ的交线时，这三个平面只有1条交线；当β∥γ时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线；当β∩γ＝b，α∩β＝a，α∩γ＝c时，共有3条交线．三、解答题9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.
证明：点E在平面A1BCD1内．证明 ∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.B级：“四能”提升训练1．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理中错误的是( )A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，则α∩β＝直线MNC．A∈α，A∈β，则α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线，则α，β重合答案 C解析 C中，平面α与平面β有公共点A，则它们相交于过点A的一条直线，而不是点A.故C错误．2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明 如图．(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面．(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线．
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