新教材人教版高中数学必修第二册第6章《6.1.1-6.1.2-6.1.3课时精讲》(含解析)

6.1.1 向量的实际背景与概念6.1.2 向量的几何表示6.1.3 相等向量与共线向量知识点一   向量与数量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．知识点二   向量的表示具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度． 向量的大小称为向量的长度(或称模)．知识点三   向量的有关概念1．向量与数量的区别(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向； (2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|，也不能说a>b；(3)0与0不同.0表示数量，但0表示零向量，其中|0|＝0.2．向量与有向线段区别：从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、终点三要素，因此这是两个不同的量．联系：向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段．3．共线向量与相等向量(1)共线向量的定义指的是非零向量的共线问题；(2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同；(3)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．特别注意：(1)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性．(2)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．(  )(2)向量的模是一个正实数．(  )(3)单位向量的模都相等．(  )(4)向量与向量是相等向量．(  )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．做一做(1)下列说法正确的是(  )A．若|a|＞|b|，则a＞bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a与b共线D．若a≠b，则a一定不与b共线(2)如图，四边形ABCD中，＝，则必有(  ) A.＝B.＝C.＝D.＝(3)△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是________．(4)如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，①图中与共线的向量有________；②图中与相等的向量有________；③图中与模相等的向量有________；④图中与相等的向量有________．答案 (1)C (2)D (3)模相等(4)①，，，，，， ②，③，，，，，，，， ④ 题型一向量的有关概念例1 下列说法正确的是(  )A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小[解析] A项，不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，不正确；B项，方向相同的向量也不能比较大小，不正确；C项，向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，不正确；D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确．[答案] D 解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．给出下列命题：①若向量a＝，b＝，则|a|＝|b|；②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；③若向量是单位向量，则也是单位向量；④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．其中正确的个数是________．答案 3解析 ①正确，由于|a|＝||＝AB， |b|＝||＝BA＝AB，因此有|a|＝|b|.②不正确，由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，因此说法②不正确．③正确，因为||＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量．④正确，由于向量||＝1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点．反过来，若点P是以点A为圆心，1为半径的单位圆上的任一点，则由于||＝1，所以向量是单位向量，因此说法④正确.题型二向量的几何表示例2 某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量，，；(2)求的模．[解] (1)作出向量，，如图所示．(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)．所以||＝5米． 向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c，… 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200km到达C地，最后又改变方向，向东突进100km到达D处，完成了对蓝军的包围．(1)作出向量，，；(2)求||.解 (1)向量，，，如图所示．(2)由题意，易知与方向相反，故与共线．又||＝||，∴在四边形ABCD中，AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．∴＝，||＝||＝200km. 题型三相等向量与共线向量例3 (1)①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④两向量a，b相等的充要条件是⑤|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；⑥＝C的充要条件是A与C重合、B与D重合．其中真命题的个数是________．(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.①与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？②与a共线的向量有哪些？③请一一列出与a，b，c相等的向量．[解析] (1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且与方向相同，因此＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同．故a＝c.④不正确．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故不是a＝b 的充要条件．⑤正确．这是因为|a|＝|b|a＝b，但a＝b⇒|a|＝|b|，所以|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件．⑥不正确．这是因为＝时，应有||＝||及由A到B与C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合．(2)①与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.②与a共线的向量有，，，，，，，，.③与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.[答案] (1)3 (2)见解析[结论探究] 本例(2)条件不变，试写出与向量相等的向量．解 ，，.[综合探究] 在本例(2)中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？解 因为ABCDEF是正六边形，|a|＝1，所以正六边形的边长也是1. 共线向量与相等向量的区别与联系相等向量是指大小相等且方向相同的向量．共线向量是方向相同或相反的非零向量，共线向量也叫平行向量．相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等．向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性．(1)下列命题：①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c；④若四边形ABCD是平行四边形，则一定有＝.其中真命题的个数为(  )A．0B．1C．2D．3 (2)如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．①找出与向量共线的向量；②找出与向量相等的向量．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)相等向量起点相同时，终点必相同，故①错误；向量的共线不同于点共线，故当与共线时，四点A，B，C，D不一定共线，即②错误；当b＝0时，a与c没有任何关系，故③错误；与同向且等长，则＝，故④正确．(2)①依据图形可知，，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，.②由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.1．有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的个数是(  )A．1B．2C．3D．4答案 C解析 速度、力、加速度这3个物理量是向量，它们都有大小和方向，其余的不是向量．2．在下列判断中，正确的是(  )①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤答案 D解析 由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确．3．如图，在圆O中，向量，，是(  )A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量答案 C解析 由图可知，三向量方向不同，但长度相等．4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为始点和终点的向量中，与相等的向量有________．答案 ，解析 因为各方格均为正方形，则有＝＝.5．如图，O是正方形ABCD的中心． (1)写出与向量相等的向量；(2)写出与的模相等的向量．解 (1)与向量相等的向量是.(2)与的模相等的向量有：，，，，，，.