新教材人教版高中数学必修第二册第6章《6.2.1课时精讲》(含解析)

6.2.1 向量的加法运算知识点一   向量的加法(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则 知识点二  向量的三角形不等式对任意两个向量a，b，均有|a＋b|≤|a|＋|b|.当a，b同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|；当a，b反向时有|a＋b|＝||a|－|b||.知识点三   向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：＝＋(平行四边形法则)，又因为＝，所以＝＋(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．(  )(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(  )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(  )答案 (1)× (2)× (3)×2．做一做(1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是(  )A.＋B.＋＋C.＋＋D.＋＋ (2)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(  )A．1B．2C.D.(3)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.答案 (1)C (2)B(3)解：a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一(三角形法则)：如图①所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c.解法二(平行四边形法则)：因为a，b，c不共线，如图②所示．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作▱OADB， 则对角线＝a＋b，再作＝c，以，为邻边作▱OCED.则＝a＋b＋c.题型一向量的三角形和平行四边形法则例1 如下图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和．[解] 如下图中(1)，(2)所示，首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b.(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．(1)如图，已知a，b，求作a＋b； (2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.解 (1)如图①，②所示．首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b.(2)作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝b，则得向量＝a＋b；然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求.                    题型二向量的加法运算例2 如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)＋＋；(2)＋＋；(3)＋＋.[解] (1)＋＋＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.(3)＋＋＝＋＋＝＋＝. 解决向量加法运算时应关注的两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.化简或计算：(1)＋＋；(2)＋＋＋＋.解 (1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0.题型三利用向量加法证明几何问题例3 已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.求证：四边形ABCD是平行四边形．[证明] ＝＋，＝＋，又∵＝，＝，∴＝，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形． 怎样用向量方法证明几何问题用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．证明 ∵＝＋，＝＋， 又＝，＝，∴＝，即AE与FC平行且相等．∴四边形AECF是平行四边形.题型四向量加法的实际应用例4 在水流速度为向东10km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．[解] 如图所示，表示水速，表示船实际航行的速度，表示船速，由＝＋，易知||＝||＝10，又∠OBC＝90°，所以||＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向的夹角为120°. 应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤 在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．解 如图所示，设，分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800km，从B地按南偏东55°的方向行驶800km.则救护车行驶的路程指的是||＋||；两次行驶的位移的和指的是＋＝.依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以||＝＝＝800(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而救护车行驶的路程是1600km，两次行驶的位移和的大小为800km，方向为北偏东80°.1．下列等式错误的是(  )A．a＋0＝0＋a＝aB.＋＋＝0C.＋＝0D.＋＝＋＋答案 B解析 对于A，根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；对于B，根据向量的三角形加法运算可得＋＝，故原式等于＋≠0.故B错误；对于C，可知与共线且方向相反，所以＋＝0，所以C正确；对于D，可知＋＋＝＋＝0，又＋＝0，可知D正确．故选B.2．设P是△ABC所在平面内一点，且＋＝＋，则(  )A.＋＋＝0B.＋＝0C.＋＝0D.＋＝0答案 C解析 因为P是△ABC所在平面内一点，＋＝＋，所以P是AC的中点，所以＋＝0.3．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________． 答案 8km 北偏东45°解析 如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形．则||＝8，∠BAC＝45°.4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|A|＝1，则|＋|＝________.答案 1解析 由题意知△ABD为等边三角形，∴|＋|＝||＝1.5．如图，在正六边形OABCDE中，＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．解 设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得 ＝＋＝a＋b.∵＝＝，∴＝＝a＋b.在△AOB中，根据向量加法的三角形法则得＝＋＝a＋a＋b.同理，在△OBC中，＝＋＝a＋a＋b＋b，在△OED中，＝＋＝＋＝b＋a＋b.