新教材人教版高中数学必修第二册第6章《6.2.4课时精讲》(含解析)

6.2.4 向量的数量积知识点一   向量的夹角知识点二   向量数量积的概念 知识点三   投影向量如图1，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．如图2，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．知识点四   向量的数量积的性质和运算律(1)向量的数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a·e＝e·a＝|a|cosθ.②a⊥b⇔a·b＝0.③当a与b同向时，a·b＝|a||b|. 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.④a·a＝|a|2或|a|＝＝.⑤cosθ＝.⑥|a·b|≤|a||b|.(2)向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．1．对数量积的理解(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成a×b.2．要灵活掌握向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝＝也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)用cosθ＝求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当θ＝0时，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；当θ为锐角时，cosθ>0，a·b>0；当θ为钝角时，cosθ0，∴·＝－·