6.3.1 平面向量基本定理知识点 平面向量基本定理1．对基底的理解(1)基底的两个主要特征①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．3．平面向量基本定理的应用(1)平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则(2)重要结论设{e1，e2}是平面内一个基底，1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面向量的一个基底{e1，e2}中，e1，e2一定都是非零向量．( )(2)在平面向量基本定理中，若a＝0，则λ1＝λ2＝0.( )(3)在平面向量基本定理中，若a∥e1，则λ2＝0；若a∥e2，则λ1＝0.( )(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )A．{e1，e2}B．{e1＋e2,3e1＋3e2}C．{e1,5e2}D．{e1，e1＋e2}(2)在△ABC中，D为BC边上靠近点B的三等分点，若＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．(3)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝______，y＝______.
(4)已知▱ABCD的两条对角线相交于点M，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示＝________，＝________.答案 (1)B (2)a＋b (3)－15 －12 (4)b－a－a－b
题型一正确理解基底的概念例1 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①{，}；②{，}；③{，}；④{，}．其中可作为这个平行四边形所在平面的一个基底的是( )A．①②B．①③C．①④D．③④[解析] ①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一个基底，故①③满足题意．[答案] B 能作为基底向量的条件考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一表示．注意零向量不能作基底．设{e1，e2}是平面内一个基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )A．{e1＋e2，e1－e2}B．{3e1－2e2,4e2－6e1}C．{e1＋2e2，e2＋2e1}D．{e2，e2＋e1}答案 B解析 ∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底.题型二用基底表示向量例2 如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量.
[解] 易得＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线知存在实数m，满足＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，满足＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b，所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基底，所以解得所以＝a＋b.[条件探究] 若将本例中的“＝”改为“＝”，其他条件不变，试用基底{a，b}表示.解 由已知得＝＝b，＝＝a，∵N，E，B三点共线，∴设＝m＋(1－m)＝b＋(1－m)a，又∵C，E，M三点共线，∴设＝n＋(1－n)＝a＋(1－n)b，∴b＋(1－m)a＝a＋(1－n)b，∵a，b不共线，∴解得∴＝a＋b.
用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.解 如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．则＝＝＝a；＝－＝－＝b－a；＝－＝－－＝－－＝a－b.题型三利用平面向量基本定理解决共线问题例3 设{e1，e2}是平面内的一个基底，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2，求证：A，B，D三点共线．
[证明] ∵＝3e1－2e2，＝＋＋＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5，即＝5，∴与共线，又与有公共点A，∴A，B，D三点共线．(1)三点共线问题的解法一是利用平面向量基本定理、结合向量的线性运算表示有公共点的两向量之间的共线关系．二是找直线外一点(任意一点也可)O，若存在唯一实数对λ，μ∈R使＝λ＋μ(λ＋μ＝1)．则P，A，B三点共线．(2)注意向量共线与平面向量基本定理放在一起思考解决是否共线问题．若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，则是否存在这样的实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？解 ∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝k(2e1－9e2)，由得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．题型四利用平面向量基本定理解决平面几何问题例4 如图所示，L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0，求证：l＝m＝n.
[证明] 令＝a，＝b为一个基底，根据已知有＝la，＝mb.∵＝＋＝－a－b，则有＝n＝－na－nb.∴＝＋＝(l－1)a－b，＝＋＝a＋mb，＝＋＝－na＋(1－n)b，又＋＋＝0.∴(l－n)a＋(m－n)b＝0.根据平面向量基本定理，有l－n＝m－n＝0.故l＝m＝n.(1)平面向量基本定理是向量法的理论基础，它不仅提供了向量的几何表示方法，同时也使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁．这就为几何问题转化为代数论证提供了理论工具．(2)由平行向量基本定理可知，任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示，而且这种表示是唯一的．因此，平面向量基本定理是平行向量基本定理从一维到二维的推广．如图，设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠－1)，O是平面上任一点，则( )
A.＝B.＝C.＝D.＝答案 A解析 ＝－＝λ＝λ(－)，∴＝.
1．{e1，e2}是平面内一个基底，下面说法正确的是( )A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对答案 A解析 由基底的定义可以知道，e1和e2是平面上不共线的两个向量，所以若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0，不是空间任一向量都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，而是平面中的任一向量a，可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2的形式，此时实数λ1，λ2有且只有一对，而对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2一定在平面内，所以A正确．2．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且＝a，＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于( )A．a－bB．2(b－a)C．2(a－b)D．b－a答案 B解析 如图，a＝(＋)，b＝(＋)，相减得b－a＝(－)，∴＝2(b－a)．3．已知向量a，b不共线，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
答案 A解析 ∵＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b，∴2＝，∴∥.又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选A.4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________.答案 3解析 由平面向量基本定理，得∴∴x－y＝3.5．在△ABC中，＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.解 如图，取AE的三等分点M，使AM＝AE，连接DM，则DM∥BE.设AM＝t(t＞0)，则ME＝2t.又AE＝AC，∴AC＝12t，EC＝9t，∴在△DMC中，＝＝，∴CP＝CD，∴DP＝CD，＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋＝＋＝a＋b.
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